出てくるもの (1)：エネルギー準位と作用変数の量子化

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第4章 §4.4.3　★★★ $\hat n$ の固有値は $0,1,2,\dots$、$E_n=\hbar\omega(n+\frac12)$。作用変数は $J_n=(n+\frac12)\hbar$ で、Bohr–Sommerfeld の条件が調和振動子では厳密に成り立つ

代数だけで準位を決める

$\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1$ だけから、$\hat n=\hat a^\dagger\hat a$ の固有値がすべて決まる。手順は3段である。

第1に、$\hat n$ の固有値は負でない。$\hat n| \nu \rangle =\nu| \nu \rangle$、$\langle \nu | \nu \rangle =1$ とすると$\nu=\langle \nu | \hat a^\dagger\hat a | \nu \rangle =\lVert \hat a| \nu \rangle \rVert ^2\ge0$ で、等号は $\hat a| \nu \rangle =0$ のときに限る。

第2に、$\hat a$ は固有値を $1$ だけ下げ、$\hat a^\dagger$ は $1$ だけ上げる。$\left[\hat n,\,\hat a\right]=-\hat a$, $\left[\hat n,\,\hat a^\dagger\right]=\hat a^\dagger$ から

$$\hat n\,\hat a| \nu \rangle =(\hat a\hat n-\hat a)| \nu \rangle =(\nu-1)\,\hat a| \nu \rangle ,\qquad \hat n\,\hat a^\dagger| \nu \rangle =(\nu+1)\,\hat a^\dagger| \nu \rangle$$

である。式 (4.4.15) の言葉では、$\hat n$ が生成する回転で $\hat a$ は位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}$ を受け取るので、$\hat n$ の固有値を1つずらす。

第3に、$\nu$ が整数でないと矛盾する。$\hat a$ を繰り返し掛けると固有値は $\nu,\nu-1,\nu-2,\dots$ と下がり、いずれ負になって第1の結果に反する。これを止めるには、ある段で $\hat a| \nu-k \rangle =0$ になる必要があり、そのとき第1の結果から $\nu-k=0$ である。したがって $\nu$ は負でない整数 $n=0,1,2,\dots$ で、最低の状態 $| 0 \rangle$ は $\hat a| 0 \rangle =0$ で決まる。

係数 $\sqrt n$ は $\lVert \hat a| n \rangle \rVert ^2=\langle n | \hat n | n \rangle =n$ から、$\sqrt{n+1}$ は $\lVert \hat a^\dagger| n \rangle \rVert ^2=\langle n | \hat a\hat a^\dagger | n \rangle =n+1$ から決まる（位相は実正に選ぶ）。

作用変数の量子化は厳密

式 (4.4.14) から、$| n \rangle$ の作用変数の値は

$$J_n=\Bigl(n+\frac12\Bigr)\hbar\tag{4.4.19}$$

である。第1部第14章では、滑らかな転回点を持つポテンシャルについて Bohr–Sommerfeld の条件 $J=(n+\frac12)\hbar$ を、$\hbar/J\to0$ の極限で成り立つ近似として述べた。調和振動子では、この条件が近似でなく、すべての $n$ で厳密に成り立つ。言い換えると、古典の相空間で面積が $2\pi\hbar(n+\frac12)=h(n+\frac12)$ の楕円を選ぶと、そのエネルギー $\omega J$ がちょうど量子の準位になる。隣り合う楕円の間の帯の面積は $h$ で、1つの量子状態が相空間の面積 $h$ を占めることが目で見える（図 4.4.1）。第3部第3章（第3部第3章）で相空間の測度を $\mathrm{d} q\,\mathrm{d} p/h$ に選んだのは、この数え方に合わせるためだった。

零点エネルギーと不確定性

最低のエネルギー $E_0=\frac12\hbar\omega$ は、古典の最低エネルギー $0$（$q=p=0$ で静止）と違う。古典では相空間の1点に止まれるが、量子では $q$ と $p$ を同時に確定できないので、楕円の面積を $0$ にすることができない。この下限は不確定性関係から直接出る。どの状態でも $\langle \hat q^2 \rangle \ge(\Delta q)^2$、$\langle \hat p^2 \rangle \ge(\Delta p)^2$、$\Delta q\,\Delta p\ge\hbar/2$ なので

$$\langle \hat H \rangle \ge\frac{(\Delta p)^2}{2m}+\frac12m\omega^2(\Delta q)^2\ge\frac{\hbar^2}{8m(\Delta q)^2}+\frac12m\omega^2(\Delta q)^2\ge\frac{\hbar\omega}{2}$$

で、最後の不等号は相加相乗平均である。等号は $(\Delta q)^2=\hbar/(2m\omega)=\ell^2/2$ のときで、これが $| 0 \rangle$ の幅になる（4.4.4節）。

位置と運動量の行列要素

式 (4.4.12) と (4.4.17) から、$\hat q$ と $\hat p$ は隣り合う準位の間にだけ $0$ でない行列要素を持つ。

$$\langle n-1 | \hat q | n \rangle =\ell\sqrt{\frac n2},\qquad \langle n-1 | \hat p | n \rangle =-\mathrm{i}\frac{\hbar}{\ell}\sqrt{\frac n2}\tag{4.4.20}$$

である。$\hat q$ は $\hat a$ と $\hat a^\dagger$ の1次式なので、準位を1つずつしか動かすことができない。電気双極子の遷移（第4部第12章）では、この性質が「調和振動子は $\Delta n=\pm1$ の遷移しか起こさず、吸収・放出の光の振動数は $\omega$ ただ1つ」という選択則になる。古典の調和振動子の $q(t)$ が振動数 $\omega$ の正弦波1つで、倍音を含まないことの量子版である（4.4.6節）。