この章のまとめ

(1) $\binom{20}{5}=15504$、$\binom{18}{5}=8568$、$\binom{18}{4}=3060$、$\binom{18}{3}=816$ から、2個とも基底状態の配置が $8568/15504=21/38=0.5526$、片方だけ励起した2つの配置がそれぞれ $3060/15504=15/76=0.1974$、2個とも励起した配置が $816/15504=1/19=0.0526$ である。カノニカル分布の周辺は $9/16$、$3/16$、$1/16$ なので

$$D=\frac{21}{38}\ln\frac{21/38}{9/16}+2\cdot\frac{15}{76}\ln\frac{15/76}{3/16}+\frac1{19}\ln\frac{1/19}{1/16}=1.42\times10^{-3}\ \text{nat}.$$

主要項は $2/(4\cdot400)=1.25\times10^{-3}$ で、値の 88% を占める（$N=16$ の例題 2.3.1 の 85% より主要項に近い）。

(2) $x=1/(\mathrm{e}^{\beta\varepsilon }+1)=1/4$ から $\mathrm{e}^{\beta\varepsilon }=3$、$\beta\varepsilon =\ln3=1.099$。第1部第2章の例題で $N_1/N=1/(\mathrm{e}^{\beta\varepsilon }+1)$ を状態数から導いたのと同じ関係である。比はミクロカノニカル分布で $\frac{M(M-1)}{(N-M)(N-M-1)}=\frac{20}{210}=\frac2{21}=0.0952$、カノニカル分布で $(1/3)^2=1/9=0.111$ である。ミクロカノニカル分布の比はカノニカル分布の $18/21=6/7=0.857$ 倍で、例題 2.3.6 の近似 $1-(1-2x)/(Nx(1-x))=1-0.5/3.75=0.867$ とおよそ合う。

(3) $d_R=\binom{20}{5}=15504$。$B$ の配置で励起が $j$ 個のものは、$A$ に励起を $5-j$ 個置く場合の数 $\binom{2}{5-j}$ 通りと組になるので、$\hat\rho_B^{\mathrm{mc}}$ の対角成分は $j=5$ の $8568$ 個が $1/15504$、$j=4$ の $3060$ 個が $2/15504$、$j=3$ の $816$ 個が $1/15504$ である。よって

$$\operatorname{Tr}(\hat\rho_B^{\mathrm{mc}})^2=\frac{8568+3060\times4+816}{15504^2}=\frac{21624}{15504^2},\qquad d_B^{\mathrm{eff}}=\frac{15504^2}{21624}=11116 .$$

$B$ の配置の総数 $8568+3060+816=12444$ より少し小さい。$\lambda_{\min}(\hat\rho_A^{\mathrm{mc}})=1/19$（2個とも励起）。定理 2.3.4 から

$$\mathbb E_\psi\lVert \hat\rho_A-\hat\rho_A^{\mathrm{mc}}\rVert _1\le\sqrt{\frac{4}{11116}}=0.0190,\qquad \mathbb E_\psi D(\hat\rho_A\,\|\,\hat\rho_A^{\mathrm{mc}})\le\ln\Bigl(1+\frac{19}{11116}\Bigr)=1.71\times10^{-3}\ \text{nat}.$$

Pinsker の不等式と $\mathbb E\sqrt{2D}\le\sqrt{2\mathbb ED}$ を使うと $\mathbb E_\psi\lVert \cdot\rVert _1\le\sqrt{2\times1.71\times10^{-3}}=0.0585$ で、直接の評価 $0.0190$ の約3倍ゆるい。$D$ の上界は $\lambda_{\min}=1/19$ で割った分だけ不利になり、Pinsker の不等式でさらに平方根を取るからである。

(4) $\hat Z_1\hat Z_2$ は2個が同じ状態なら $+1$、異なれば $-1$ なので、ミクロカノニカル状態で $\frac{21}{38}-2\cdot\frac{15}{76}+\frac1{19}=\frac4{19}=0.2105$、カノニカル状態で $(1-2x)^2=1/4$ である。差 $3/76=0.0395$ は、$p^{\mathrm{mc}}_A$ と $p^{\mathrm{can}}_A$ の $\lVert \cdot\rVert _1$（$0.0395$）と一致する。$\lVert \hat Z_1\hat Z_2\rVert _\infty=1$ なので、式 (2.3.15) と三角不等式から

$$\mathbb E_\psi\lvert \langle \hat Z_1\hat Z_2 \rangle _\psi-\tfrac14\rvert \le\mathbb E_\psi\lVert \hat\rho_A-\hat\rho_A^{\mathrm{mc}}\rVert _1+\lVert \hat\rho_A^{\mathrm{mc}}-\hat\rho_A^{\mathrm{can}}\rVert _1\le0.0190+0.0395=0.058 .$$

この大きさの系では、カノニカル状態からのずれの大部分は、$| \psi \rangle$ を1つに選んだことによるゆらぎよりも、ミクロカノニカル分布とカノニカル分布の違い（有限の $N$ の補正）による。

(5) $d_{\mathrm{eff}}=d_R=15504$ なので、上界は $\sqrt{d_A^3/d_{\mathrm{eff}}}=\sqrt{64/15504}=0.0642$。全体の $D(\hat\rho(t)\,\|\,\hat\rho_{\mathrm d})=\ln15504=9.649$ nat で、時間によらない。部分系 $A$ は長い時間のほとんどで時間平均の状態から $\lVert \cdot\rVert _1$ で平均 $0.064$ 以内にいるが、全体の状態は時間平均の状態から $9.6$ nat 離れたまま動かない。