比べる2つの状態：純粋状態の部分系とミクロカノニカル状態の部分系

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第2部 第3章 §2.3.2　★★★ 全体では $D=\ln d_R$ と最大に離れた2つの状態を、部分トレースで部分系に落として比べる。この章の主役の設定

密度行列と部分トレース（最小限）

量子系の状態は一般に密度行列 $\hat\rho$（エルミートで固有値が非負、$\operatorname{Tr}\hat\rho=1$）で表す。1つの状態ベクトル $| \psi \rangle$ で書ける純粋状態は $\hat\rho=| \psi \rangle \langle \psi |$ で、それ以外を混合状態と呼ぶ。物理量 $\hat O$ の期待値は $\langle \hat O \rangle =\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat O)$ である。全体の Hilbert 空間が $\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B$ のとき、$A$ だけに作用する物理量 $\hat O_A\otimes\hat 1_B$ の期待値を正しく与える $A$ の密度行列を縮約密度行列 $\hat\rho_A=\operatorname{Tr}_B\hat\rho$ と呼ぶ。$\mathcal{H}_A$ の正規直交基底 $\{| a \rangle \}$、$\mathcal{H}_B$ の正規直交基底 $\{| b \rangle \}$ で $| \psi \rangle =\sum_{a,b}\psi_{ab}| a \rangle | b \rangle$ と書けば、

$$(\hat\rho_A)_{aa'}=\sum_b\psi_{ab}\psi_{a'b}^*,\qquad\text{つまり}\quad\hat\rho_A=\Psi\Psi^\dagger\tag{2.3.7}$$

である（$\Psi$ は $\psi_{ab}$ を並べた $d_A\times d_B$ 行列）。全体が純粋状態でも、$\Psi$ の階数が $2$ 以上なら $\hat\rho_A$ は混合状態になる。これが $A$ と $B$ のエンタングルメントで、詳しくは 第3部第4章 で扱う。

量子の相対エントロピーは $D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=\operatorname{Tr}\hat\rho(\ln\hat\rho-\ln\hat\sigma)$ で定義し、von Neumann エントロピーは $S(\hat\rho)=-\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\rho$ である。非負性 $D\ge0$（等号は $\hat\rho=\hat\sigma$ だけ）は 第3部第2章 で、部分トレースを含む任意の量子チャネルで $D$ が増えないこと（量子データ処理不等式）は第3部第3章 で示す。この章ではこの2つを結果として使う。

比べる2つの状態

$N$ 個の2準位の粒子を、今度は量子の系として扱う。各粒子の状態空間は $| 0 \rangle$（基底）と $| 1 \rangle$（励起）で張られる2次元で、前の節の配置 $s$ は全体の Hilbert 空間の正規直交基底 $| s \rangle =| n_1 \rangle \cdots| n_N \rangle$ になる。励起がちょうど $M$ 個の基底ベクトルが張る部分空間を $\mathcal{H}_R$（エネルギー殻、次元 $d_R=\binom NM$）とし、そこへの射影を $\hat\Pi_R$ と書く。一般の系でも、$\mathcal{H}_R$ は全体のハミルトニアンの固有値が $[E,E+\Delta E]$ に入る固有状態が張る部分空間とする。

比べる状態の一方は、$\mathcal{H}_R$ の中の純粋状態 $| \psi \rangle$ である。もう一方は、$\mathcal{H}_R$ の上の一様な混合

$$\hat\rho_{\mathrm{mc}}=\frac{\hat\Pi_R}{d_R}\tag{2.3.8}$$

で、これをミクロカノニカル状態と呼ぶ。全体どうしを比べると、$| \psi \rangle \in\mathcal{H}_R$ なら $\hat\Pi_R| \psi \rangle =| \psi \rangle$ なので

$$D(| \psi \rangle \langle \psi |\,\|\,\hat\rho_{\mathrm{mc}})=0-\langle \psi |\ln\frac{\hat\Pi_R}{d_R}| \psi \rangle =\ln d_R\tag{2.3.9}$$

となる（$S(| \psi \rangle \langle \psi |)=0$ で、$\ln\hat\rho_{\mathrm{mc}}$ は $\mathcal{H}_R$ の上で定数 $-\ln d_R$）。$\ln d_R=S^{\mathrm{mc}}/ k_{\mathrm B}$ は熱力学のエントロピーそのもので、マクロな系では $10^{23}$ の程度の数になる。1回の測定で $| \psi \rangle$ への射影 $| \psi \rangle \langle \psi |$ を測れば、$| \psi \rangle$ なら確率 $1$、$\hat\rho_{\mathrm{mc}}$ なら確率 $1/d_R$ で「はい」が出るので、全体を測れる観測者には2つの状態は完全に近い精度で区別できる。

部分系 $A$ に制限すると、比べるのは

$$\hat\rho_A=\operatorname{Tr}_B| \psi \rangle \langle \psi |,\qquad\hat\rho_A^{\mathrm{mc}}=\operatorname{Tr}_B\hat\rho_{\mathrm{mc}}\tag{2.3.10}$$

になる。2準位の模型では、$\hat\rho_{\mathrm{mc}}$ は配置の基底で対角で、その部分トレースは前の節の周辺 $p^{\mathrm{mc}}_A$ を対角に並べたものになる：$\hat\rho_A^{\mathrm{mc}}=\sum_{s_A}p^{\mathrm{mc}}_A(s_A)| s_A \rangle \langle s_A |$。前の節の結果から、これは $k\ll N$ でカノニカル状態にほとんど等しい。したがって問題は、「1つの純粋状態から作った $\hat\rho_A$ が、$\hat\rho_A^{\mathrm{mc}}$ にどれだけ近いか」に帰着する。

部分トレースは量子チャネルなので、データ処理不等式から

$$D(\hat\rho_A\,\|\,\hat\rho_A^{\mathrm{mc}})\le D(| \psi \rangle \langle \psi |\,\|\,\hat\rho_{\mathrm{mc}})=\ln d_R\tag{2.3.11}$$

が成り立つ。これは何も言っていないに等しい上界である。$\hat\rho_A$ は $d_A$ 次元の状態なので、そもそも $D$ は $\ln(1/\lambda_{\min})$ の程度（$\lambda_{\min}$ は $\hat\rho_A^{\mathrm{mc}}$ の最小固有値）を超えにくい。問題は、典型的な $| \psi \rangle$ で $D(\hat\rho_A\,\|\,\hat\rho_A^{\mathrm{mc}})$ が $0$ に近いかどうかである。次の例題で示すように、個々の $| \psi \rangle$ では近くないこともある。