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当てる DD の性質：2次の上界と Pinsker の不等式

2026年10月15日9分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第2部 第3章 典型性と熱平衡化

AI 生成・木下が未勉強

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第2部 第3章 §2.3.3　★★ DD を平均の計算できる2次の量 χ2\chi^2 で上から押さえ、Pinsker の不等式で観測量の差に直す。典型性の証明に使う2つの道具

ランダムに選んだ ∣ψ⟩| \psi \rangle について D(ρ^A ∥ ρ^Amc)D(\hat\rho_A\,\|\,\hat\rho_A^{\mathrm{mc}}) の平均を直接計算するのは難しい。DD には ln⁡ρ^A\ln\hat\rho_A が入っていて、ρ^A\hat\rho_A の固有値の分布が分からないと平均が取れないからである。そこで、DD を ρ^A\hat\rho_A について2次の量で上から押さえる。2次の量なら、状態の2次のモーメントだけで平均が計算できる。

命題 2.3.2（DD の2次の上界 ★★★）

σ^\hat\sigma が正則（固有値がすべて正）な密度行列なら、任意の密度行列 ρ^\hat\rho について

D(ρ^ ∥ σ^)≤ln⁡Tr⁡(ρ^2σ^−1)=ln⁡(1+χ2(ρ^,σ^))≤χ2(ρ^,σ^),(2.3.12)D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)\le\ln\operatorname{Tr}(\hat\rho^2\hat\sigma^{-1})=\ln\bigl(1+\chi^2(\hat\rho,\hat\sigma)\bigr)\le\chi^2(\hat\rho,\hat\sigma),\tag{2.3.12}

χ2(ρ^,σ^)≔Tr⁡[(ρ^−σ^)2σ^−1]≤∥ρ^−σ^∥22λmin⁡(σ^)(2.3.13)\chi^2(\hat\rho,\hat\sigma)\coloneqq\operatorname{Tr}\bigl[(\hat\rho-\hat\sigma)^2\hat\sigma^{-1}\bigr]\le\frac{\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _2^2}{\lambda_{\min}(\hat\sigma)}\tag{2.3.13}

が成り立つ。ここで ∥X^∥2=Tr⁡X^†X^\lVert \hat X\rVert _2=\sqrt{\operatorname{Tr}\hat X^\dagger\hat X}（Hilbert–Schmidt ノルム）、λmin⁡(σ^)\lambda_{\min}(\hat\sigma) は σ^\hat\sigma の最小固有値である。

証明

ρ^=∑iri∣i⟩⟨i∣\hat\rho=\sum_ir_i| i \rangle \langle i |、σ^=∑jsj∣j′⟩⟨j′∣\hat\sigma=\sum_js_j| j' \rangle \langle j' | と固有値分解し、Pij=∣⟨i∣j′⟩∣2P_{ij}=\lvert \langle i | j' \rangle \rvert ^2 とおく。∑jPij=1\sum_jP_{ij}=1 なので wij=riPijw_{ij}=r_iP_{ij} は (i,j)(i,j) の上の確率分布になる。Tr⁡ρ^ln⁡ρ^=∑iriln⁡ri=∑ijwijln⁡ri\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\rho=\sum_ir_i\ln r_i=\sum_{ij}w_{ij}\ln r_i、Tr⁡ρ^ln⁡σ^=∑ijriPijln⁡sj=∑ijwijln⁡sj\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\sigma=\sum_{ij}r_iP_{ij}\ln s_j=\sum_{ij}w_{ij}\ln s_j だから

D(ρ^ ∥ σ^)=∑ijwijln⁡risj≤ln⁡∑ijwijrisj=ln⁡∑ijri2Pijsj−1=ln⁡Tr⁡(ρ^2σ^−1)D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=\sum_{ij}w_{ij}\ln\frac{r_i}{s_j}\le\ln\sum_{ij}w_{ij}\frac{r_i}{s_j}=\ln\sum_{ij}r_i^2P_{ij}s_j^{-1}=\ln\operatorname{Tr}(\hat\rho^2\hat\sigma^{-1})

である。不等号は ln⁡\ln が凹関数であることによる Jensen の不等式（第1部第3章）である。Tr⁡[(ρ^−σ^)2σ^−1]=Tr⁡ρ^2σ^−1−2Tr⁡ρ^+Tr⁡σ^=Tr⁡ρ^2σ^−1−1\operatorname{Tr}[(\hat\rho-\hat\sigma)^2\hat\sigma^{-1}]=\operatorname{Tr}\hat\rho^2\hat\sigma^{-1}-2\operatorname{Tr}\hat\rho+\operatorname{Tr}\hat\sigma=\operatorname{Tr}\hat\rho^2\hat\sigma^{-1}-1 から等式が、ln⁡(1+y)≤y\ln(1+y)\le y から最後の不等号が出る。式 (2.3.13) の不等号は、X^=ρ^−σ^\hat X=\hat\rho-\hat\sigma として Tr⁡(X^2σ^−1)=Tr⁡(X^σ^−1X^)≤λmin⁡−1Tr⁡X^2\operatorname{Tr}(\hat X^2\hat\sigma^{-1})=\operatorname{Tr}(\hat X\hat\sigma^{-1}\hat X)\le\lambda_{\min}^{-1}\operatorname{Tr}\hat X^2（σ^−1≤λmin⁡−11^\hat\sigma^{-1}\le\lambda_{\min}^{-1}\hat 1）による。

ρ^\hat\rho が σ^\hat\sigma に近いときは D≈12χ2D\approx\frac12\chi^2 なので（古典の場合は前の節の証明の筋と同じ展開）、上界 (2.3.12) は値の2倍程度の余裕を持つ。σ^\hat\sigma が 1^/d\hat 1/d に比例する場合は χ2=dTr⁡ρ^2−1\chi^2=d\operatorname{Tr}\hat\rho^2-1 で、D(ρ^ ∥ 1^/d)=ln⁡d−S(ρ^)D(\hat\rho\,\|\,\hat 1/d)=\ln d-S(\hat\rho) なので、式 (2.3.12) はS(ρ^)≥−ln⁡Tr⁡ρ^2S(\hat\rho)\ge-\ln\operatorname{Tr}\hat\rho^2（von Neumann エントロピーは2次の Rényi エントロピー以上）という不等式と同じものになる。

DD が小さいことを、測定結果が近いことに言い換えるのが Pinsker の不等式である。古典の場合（第1部第3章）と同じ形

D(ρ^ ∥ σ^)≥12∥ρ^−σ^∥12,∥X^∥1=Tr⁡∣X^∣(2.3.14)D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)\ge\frac12\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1^2,\qquad\lVert \hat X\rVert _1=\operatorname{Tr}\lvert \hat X\rvert\tag{2.3.14}

が量子でも成り立つ。ρ^−σ^\hat\rho-\hat\sigma の固有基底で測定するチャネルを当てると、出力の確率分布の差の絶対値の和は ∥ρ^−σ^∥1\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1 のまま変わらない。一方 DD はデータ処理不等式で減るので、古典の Pinsker の不等式を出力の分布に当てれば式 (2.3.14) が出る。さらに、演算子ノルム（固有値の絶対値の最大）を ∥O^∥∞\lVert \hat O\rVert _\infty と書けば、任意の物理量について

∣Tr⁡O^ρ^−Tr⁡O^σ^∣≤∥O^∥∞∥ρ^−σ^∥1≤∥O^∥∞2D(ρ^ ∥ σ^)(2.3.15)\lvert \operatorname{Tr}\hat O\hat\rho-\operatorname{Tr}\hat O\hat\sigma\rvert \le\lVert \hat O\rVert _\infty\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1\le\lVert \hat O\rVert _\infty\sqrt{2D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)}\tag{2.3.15}

が成り立つ（左の不等号は ρ^−σ^\hat\rho-\hat\sigma の固有値分解で Tr⁡O^X^=∑μxμ⟨μ∣O^∣μ⟩\operatorname{Tr}\hat O\hat X=\sum_\mu x_\mu\langle \mu | \hat O | \mu \rangle と書き、∣⟨μ∣O^∣μ⟩∣≤∥O^∥∞\lvert \langle \mu | \hat O | \mu \rangle \rvert \le\lVert \hat O\rVert _\infty を使う）。部分系 AA で測れる物理量はすべて ρ^A\hat\rho_A で決まるので、D(ρ^A ∥ ρ^Amc)D(\hat\rho_A\,\|\,\hat\rho_A^{\mathrm{mc}}) が小さければ、AA で行うどんな測定もミクロカノニカル状態と同じ結果を与える。

ノルムどうしの関係として、dd 次元のエルミート行列 X^\hat X について ∥X^∥1≤d ∥X^∥2\lVert \hat X\rVert _1\le\sqrt d\,\lVert \hat X\rVert _2（固有値の絶対値の和と2乗和に Cauchy–Schwarz の不等式を当てる）も後で使う。

例題 2.3.3　2準位の状態で不等式の列を確かめる ★★

オリジナル

ρ^=(0.60.20.20.4),σ^=(0.7000.3)\hat\rho=\begin{pmatrix}0.6&0.2\\0.2&0.4\end{pmatrix},\qquad\hat\sigma=\begin{pmatrix}0.7&0\\0&0.3\end{pmatrix}

について、12∥ρ^−σ^∥12\frac12\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1^2、D(ρ^ ∥ σ^)D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)、ln⁡(1+χ2)\ln(1+\chi^2)、χ2\chi^2、∥ρ^−σ^∥22/λmin⁡(σ^)\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _2^2/\lambda_{\min}(\hat\sigma) を求め、大小の順を確かめよ。2つの行列は可換でないことに注意せよ。

解答

ρ^−σ^=(−0.10.20.20.1)\hat\rho-\hat\sigma=\begin{pmatrix}-0.1&0.2\\0.2&0.1\end{pmatrix} の固有値は ±0.01+0.04=±0.2236\pm\sqrt{0.01+0.04}=\pm0.2236 なので ∥ρ^−σ^∥1=0.447\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1=0.447、12∥ρ^−σ^∥12=0.100\frac12\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _1^2=0.100。

DD を計算する。ρ^\hat\rho の固有値は 0.5±0.01+0.04=0.7236, 0.27640.5\pm\sqrt{0.01+0.04}=0.7236,\ 0.2764 で、S(ρ^)=0.5867S(\hat\rho)=0.5867。ln⁡σ^\ln\hat\sigma は対角なので−Tr⁡ρ^ln⁡σ^=−0.6ln⁡0.7−0.4ln⁡0.3=0.6926-\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\sigma=-0.6\ln0.7-0.4\ln0.3=0.6926。よって D=−0.5867+0.6926=0.106D=-0.5867+0.6926=0.106 nat。

ρ^2=(0.400.200.200.20)\hat\rho^2=\begin{pmatrix}0.40&0.20\\0.20&0.20\end{pmatrix} なので Tr⁡ρ^2σ^−1=0.40/0.7+0.20/0.3=26/21=1.238\operatorname{Tr}\hat\rho^2\hat\sigma^{-1}=0.40/0.7+0.20/0.3=26/21=1.238、χ2=5/21=0.238\chi^2=5/21=0.238、ln⁡(1+χ2)=0.214\ln(1+\chi^2)=0.214。最後に ∥ρ^−σ^∥22=0.01+0.04+0.04+0.01=0.1\lVert \hat\rho-\hat\sigma\rVert _2^2=0.01+0.04+0.04+0.01=0.1 を λmin⁡=0.3\lambda_{\min}=0.3 で割って 0.3330.333。以上から

0.100≤0.106≤0.214≤0.238≤0.3330.100\le0.106\le0.214\le0.238\le0.333

の順に並び、式 (2.3.14)・(2.3.12)・(2.3.13) がすべて成り立つ。DD は Pinsker の下界にかなり近く、2次の上界 χ2\chi^2 は DD の約2倍である。D≈12χ2D\approx\frac12\chi^2 の近似が、ずれの小さいこの例でもおおよそ成り立っている。

木下の勉強ステータス

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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