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出てくるもの（1）：正準典型性

2026年10月15日14分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第2部 第3章 典型性と熱平衡化
目次
  1. ランダムな純粋状態
  2. 正準典型性の定理
  3. 制約の無い場合と Page の平均値
  4. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第2部 第3章 §2.3.4　★★★ エネルギー殻からでたらめに選んだ純粋状態の部分系は、平均で D≲dA/dBeffD\lesssim d_A/d_B^{\mathrm{eff}} しかミクロカノニカル状態から離れていない。等重率の仮定の置き換え

ランダムな純粋状態

HR\mathcal{H}_R の中の状態を「でたらめに」選ぶとは、HR\mathcal{H}_R の単位ベクトル全体の上で、ユニタリ変換で動かしても変わらない一様な確率分布（Haar 測度）に従って選ぶことをいう。具体的には、HR\mathcal{H}_R の正規直交基底で成分を独立な複素 Gauss 乱数にとり、長さを 11 に規格化すればよい。この分布についての平均を Eψ[ ⋅ ]\mathbb E_\psi[\,\cdot\,] と書く（物理量の期待値 ⟨⋅⟩\langle \cdot \rangle と区別するため）。

補題 2.3.3（2次のモーメント ★★）

HR\mathcal{H}_R の Haar 測度に従う ∣ψ⟩| \psi \rangle について

Eψ[∣ψ⟩⟨ψ∣]=Π^RdR,Eψ[∣ψ⟩⟨ψ∣⊗∣ψ⟩⟨ψ∣]=(Π^R⊗Π^R)(1^+SWAP)dR(dR+1)(2.3.16)\mathbb E_\psi\bigl[| \psi \rangle \langle \psi |\bigr]=\frac{\hat\Pi_R}{d_R},\qquad \mathbb E_\psi\bigl[| \psi \rangle \langle \psi |\otimes| \psi \rangle \langle \psi |\bigr]=\frac{(\hat\Pi_R\otimes\hat\Pi_R)(\hat 1+\mathrm{SWAP})}{d_R(d_R+1)}\tag{2.3.16}

が成り立つ。ここで SWAP\mathrm{SWAP} は2つの複製を入れ替える演算子 SWAP∣u⟩∣v⟩=∣v⟩∣u⟩\mathrm{SWAP}| u \rangle | v \rangle =| v \rangle | u \rangle である。

証明の筋

左辺は HR\mathcal{H}_R の任意のユニタリ U^\hat U について U^⊗U^\hat U\otimes\hat U と可換で、しかも入れ替えで不変な部分空間（対称部分空間）にだけ値を持つ。対称部分空間の上で U^⊗U^\hat U\otimes\hat U は既約なので、Schur の補題から左辺は対称部分空間への射影 (Π^R⊗Π^R)(1^+SWAP)/2(\hat\Pi_R\otimes\hat\Pi_R)(\hat 1+\mathrm{SWAP})/2 の定数倍である。対称部分空間の次元 dR(dR+1)/2d_R(d_R+1)/2 で割ればトレースが 11 になる。1つ目の式は同じ議論の1つの複製の版である。

1つ目の式を部分トレースすると Eψ[ρ^A]=ρ^Amc\mathbb E_\psi[\hat\rho_A]=\hat\rho_A^{\mathrm{mc}} である。平均を取ればミクロカノニカル状態になるのは当然で、問題は1つの ∣ψ⟩| \psi \rangle のずれの大きさである。これを2つ目の式で計算する。Tr⁡(X^Y^)=Tr⁡[(X^⊗Y^)SWAP]\operatorname{Tr}(\hat X\hat Y)=\operatorname{Tr}[(\hat X\otimes\hat Y)\mathrm{SWAP}] を AA の2つの複製に使うと、Tr⁡ρ^A2=Tr⁡[(∣ψ⟩⟨ψ∣⊗∣ψ⟩⟨ψ∣)(SWAPA⊗1^BB)]\operatorname{Tr}\hat\rho_A^2=\operatorname{Tr}[(| \psi \rangle \langle \psi |\otimes| \psi \rangle \langle \psi |)(\mathrm{SWAP}_A\otimes\hat 1_{BB})] と書ける。全体の入れ替えは SWAP=SWAPA⊗SWAPB\mathrm{SWAP}=\mathrm{SWAP}_A\otimes\mathrm{SWAP}_B と分かれ、SWAPA2=1^\mathrm{SWAP}_A^2=\hat 1 なので

Tr⁡[(Π^R⊗Π^R)(SWAPA⊗1^)]=Tr⁡A(Tr⁡BΠ^R)2=dR2Tr⁡(ρ^Amc)2,\operatorname{Tr}\bigl[(\hat\Pi_R\otimes\hat\Pi_R)(\mathrm{SWAP}_A\otimes\hat 1)\bigr]=\operatorname{Tr}_A(\operatorname{Tr}_B\hat\Pi_R)^2=d_R^2\operatorname{Tr}(\hat\rho_A^{\mathrm{mc}})^2,

Tr⁡[(Π^R⊗Π^R)SWAP(SWAPA⊗1^)]=Tr⁡[(Π^R⊗Π^R)(1^⊗SWAPB)]=dR2Tr⁡(ρ^Bmc)2\operatorname{Tr}\bigl[(\hat\Pi_R\otimes\hat\Pi_R)\mathrm{SWAP}(\mathrm{SWAP}_A\otimes\hat 1)\bigr]=\operatorname{Tr}\bigl[(\hat\Pi_R\otimes\hat\Pi_R)(\hat 1\otimes\mathrm{SWAP}_B)\bigr]=d_R^2\operatorname{Tr}(\hat\rho_B^{\mathrm{mc}})^2

となる（ρ^Bmc=Tr⁡Aρ^mc\hat\rho_B^{\mathrm{mc}}=\operatorname{Tr}_A\hat\rho_{\mathrm{mc}}）。以上から

Eψ[Tr⁡ρ^A2]=dRdR+1[Tr⁡(ρ^Amc)2+Tr⁡(ρ^Bmc)2](2.3.17)\mathbb E_\psi\bigl[\operatorname{Tr}\hat\rho_A^2\bigr]=\frac{d_R}{d_R+1}\Bigl[\operatorname{Tr}(\hat\rho_A^{\mathrm{mc}})^2+\operatorname{Tr}(\hat\rho_B^{\mathrm{mc}})^2\Bigr]\tag{2.3.17}

を得る。Tr⁡(ρ^A−ρ^Amc)2=Tr⁡ρ^A2−2Tr⁡ρ^Aρ^Amc+Tr⁡(ρ^Amc)2\operatorname{Tr}(\hat\rho_A-\hat\rho_A^{\mathrm{mc}})^2=\operatorname{Tr}\hat\rho_A^2-2\operatorname{Tr}\hat\rho_A\hat\rho_A^{\mathrm{mc}}+\operatorname{Tr}(\hat\rho_A^{\mathrm{mc}})^2 の平均は、Eψ[ρ^A]=ρ^Amc\mathbb E_\psi[\hat\rho_A]=\hat\rho_A^{\mathrm{mc}} からEψTr⁡ρ^A2−Tr⁡(ρ^Amc)2\mathbb E_\psi\operatorname{Tr}\hat\rho_A^2-\operatorname{Tr}(\hat\rho_A^{\mathrm{mc}})^2 に等しいので

Eψ∥ρ^A−ρ^Amc∥22=dRTr⁡(ρ^Bmc)2−Tr⁡(ρ^Amc)2dR+1≤Tr⁡(ρ^Bmc)2≕1dBeff(2.3.18)\mathbb E_\psi\lVert \hat\rho_A-\hat\rho_A^{\mathrm{mc}}\rVert _2^2=\frac{d_R\operatorname{Tr}(\hat\rho_B^{\mathrm{mc}})^2-\operatorname{Tr}(\hat\rho_A^{\mathrm{mc}})^2}{d_R+1}\le\operatorname{Tr}(\hat\rho_B^{\mathrm{mc}})^2\eqqcolon\frac{1}{d_B^{\mathrm{eff}}}\tag{2.3.18}

となる。dBeffd_B^{\mathrm{eff}} は BB の実効次元で、ρ^Bmc\hat\rho_B^{\mathrm{mc}} が nn 個の状態に一様に広がっていれば dBeff=nd_B^{\mathrm{eff}}=n である。

正準典型性の定理

定理 2.3.4（正準典型性 ★★★）

HR\mathcal{H}_R の Haar 測度に従う純粋状態 ∣ψ⟩| \psi \rangle の縮約 ρ^A\hat\rho_A について

Eψ∥ρ^A−ρ^Amc∥1≤dAdBeff(2.3.19)\mathbb E_\psi\lVert \hat\rho_A-\hat\rho_A^{\mathrm{mc}}\rVert _1\le\sqrt{\frac{d_A}{d_B^{\mathrm{eff}}}}\tag{2.3.19}

が成り立つ。ρ^Amc\hat\rho_A^{\mathrm{mc}} が正則なら、相対エントロピーについても

EψD(ρ^A ∥ ρ^Amc)≤ln⁡(1+1dBeff λmin⁡(ρ^Amc))(2.3.20)\mathbb E_\psi D(\hat\rho_A\,\|\,\hat\rho_A^{\mathrm{mc}})\le\ln\Bigl(1+\frac{1}{d_B^{\mathrm{eff}}\,\lambda_{\min}(\hat\rho_A^{\mathrm{mc}})}\Bigr)\tag{2.3.20}

が成り立つ。

証明

式 (2.3.19) は ∥X^∥1≤dA∥X^∥2\lVert \hat X\rVert _1\le\sqrt{d_A}\lVert \hat X\rVert _2 と、⋅\sqrt{\cdot} の凹性による EY≤EY\mathbb E\sqrt Y\le\sqrt{\mathbb EY} を式 (2.3.18) に当てれば出る。式 (2.3.20) は命題 2.3.2 から D≤ln⁡(1+χ2)≤ln⁡(1+∥ρ^A−ρ^Amc∥22/λmin⁡)D\le\ln(1+\chi^2)\le\ln(1+\lVert \hat\rho_A-\hat\rho_A^{\mathrm{mc}}\rVert _2^2/\lambda_{\min}) とし、ln⁡(1+⋅)\ln(1+\cdot) の凹性で平均を中に入れて式 (2.3.18) を使えば出る。

式 (2.3.19) は Popescu, Short, Winter（2006）、Nature Physics 2、754 が示した形で、同じ年に Goldstein, Lebowitz, Tumulka, Zangh\ì（2006）、Phys. Rev. Lett. 96、050403 も同じ内容を「正準典型性」の名で示した。相対エントロピーの形 (2.3.20) は、命題 2.3.2 を当てて書き直したものである。λmin⁡(ρ^Amc)\lambda_{\min}(\hat\rho_A^{\mathrm{mc}}) はおおよそ 1/dA1/d_A の程度（AA の状態が偏りすぎていなければ）なので、右辺は dA/dBeffd_A/d_B^{\mathrm{eff}} の程度である。

この定理が言っていることを言葉にする。マクロな熱浴では dBeffd_B^{\mathrm{eff}} は eS/kB\mathrm{e}^{S/ k_{\mathrm B}} の程度の巨大な数で、AA が数個の粒子なら dA/dBeffd_A/d_B^{\mathrm{eff}} は事実上 00 である。したがってエネルギー殻からどの純粋状態を選んでも、平均として AA はミクロカノニカル状態の縮約に見える。平均が小さいだけでなく、ほとんどすべての ∣ψ⟩| \psi \rangle で小さい。HR\mathcal{H}_R の単位球面は 2dR−12d_R-1 次元の球面で、その上の滑らかな関数は高い次元では平均のまわりに集中するからである（測度の集中。Lévy の補題：Lipschitz 定数 η\eta の関数 ff についてPr⁡(∣f(ψ)−Ef∣>ϵ)≤2exp⁡(−c dRϵ2/η2)\Pr(\lvert f(\psi)-\mathbb E f\rvert >\epsilon)\le2\exp(-c\,d_R\epsilon^2/\eta^2)、cc は次元によらない正の定数）。∥ρ^A−ρ^Amc∥1\lVert \hat\rho_A-\hat\rho_A^{\mathrm{mc}}\rVert _1 は ∣ψ⟩| \psi \rangle について Lipschitz 定数 22 の関数なので、平均から ϵ\epsilon 以上ずれる状態の割合は e−cdRϵ2/4\mathrm{e}^{-cd_R\epsilon^2/4} の速さで小さい。等重率の仮定は「HR\mathcal{H}_R の状態のどれでもよい」に置き換わり、仮定は「全体の状態が HR\mathcal{H}_R に入っている」というエネルギーの制約だけになる。

近似の裏付け

型 B（極限）　｜　小さいもの dA/dBeff→0d_A/d_B^{\mathrm{eff}}\to0（部分系が熱浴に比べて小さい）・1/dR→01/d_R\to0（測度の集中）　｜　証明 証明済み（Popescu–Short–Winter 2006 の定理。状態を Haar 測度で選ぶことが前提）　｜　行き先 近似の数理 第13章

制約の無い場合と Page の平均値

エネルギーの制約を外し、HR=HA⊗HB\mathcal{H}_R=\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B 全体から選ぶ場合（dR=dAdBd_R=d_Ad_B、ρ^Amc=1^/dA\hat\rho_A^{\mathrm{mc}}=\hat 1/d_A、ρ^Bmc=1^/dB\hat\rho_B^{\mathrm{mc}}=\hat 1/d_B）は、計算がすべて閉じた形になる。式 (2.3.17) は EψTr⁡ρ^A2=(dA+dB)/(dAdB+1)\mathbb E_\psi\operatorname{Tr}\hat\rho_A^2=(d_A+d_B)/(d_Ad_B+1) になり、ρ^Amc∝1^\hat\rho_A^{\mathrm{mc}}\propto\hat 1 では χ2=dATr⁡ρ^A2−1\chi^2=d_A\operatorname{Tr}\hat\rho_A^2-1 なので

EψD(ρ^A ∥ 1^/dA)≤ln⁡(1+dA2−1dAdB+1)≈dA2−1dAdB(2.3.21)\mathbb E_\psi D(\hat\rho_A\,\|\,\hat 1/d_A)\le\ln\Bigl(1+\frac{d_A^2-1}{d_Ad_B+1}\Bigr)\approx\frac{d_A^2-1}{d_Ad_B}\tag{2.3.21}

となる。一方、D(ρ^A ∥ 1^/dA)=ln⁡dA−S(ρ^A)D(\hat\rho_A\,\|\,\hat 1/d_A)=\ln d_A-S(\hat\rho_A) で、エンタングルメント・エントロピー S(ρ^A)S(\hat\rho_A) の Haar 平均には厳密な式が知られている。dA≤dBd_A\le d_B のとき

EψS(ρ^A)=∑j=dB+1dAdB1j−dA−12dB(2.3.22)\mathbb E_\psi S(\hat\rho_A)=\sum_{j=d_B+1}^{d_Ad_B}\frac1j-\frac{d_A-1}{2d_B}\tag{2.3.22}

で、Page（1993）、Phys. Rev. Lett. 71、1291 が予想し、Foong, Kanno（1994）、Phys. Rev. Lett. 72、1148 と Sen（1996）、Phys. Rev. Lett. 77、1 が証明した。和を ln⁡dA+12dAdB−12dB\ln d_A+\frac{1}{2d_Ad_B}-\frac{1}{2d_B} と展開すると、EψD≈(dA2−1)/(2dAdB)\mathbb E_\psi D\approx(d_A^2-1)/(2d_Ad_B) になり、上界 (2.3.21) のちょうど半分である。半分になる理由は、命題 2.3.2 のあとで述べた D≈12χ2D\approx\frac12\chi^2 にある。AA を大きくしていって dAd_A が dBd_B に近づくときの平均のふるまい（Page 曲線）は第7部第3章 でブラックホールの放射に当てはめる。

図

図 2.3.2　1 qubit（dA=2d_A=2）の部分系の相対エントロピーの Haar 平均。点線（印つき）は Page の式による厳密な平均、実線は2次の上界 (2.3.21)。どちらも 1/dB1/d_B に比例して減り、dBd_B が大きいと上界は厳密な値のちょうど2倍になる。

例題 2.3.4　1 qubit と 10 qubit ★★

オリジナル11 個の qubit からなる系全体の純粋状態を Haar 測度で選び、1つの qubit を AA、残りの 10 個を BB とする（dA=2d_A=2、dB=210=1024d_B=2^{10}=1024、エネルギーの制約なし）。

  1. (1) EψTr⁡ρ^A2\mathbb E_\psi\operatorname{Tr}\hat\rho_A^2 を求めよ。
  2. (2) EψD(ρ^A ∥ 1^/2)\mathbb E_\psi D(\hat\rho_A\,\|\,\hat 1/2) の上界 (2.3.21) と、Page の式 (2.3.22) による厳密な値を求め、比を確かめよ。
  3. (3) 定理 2.3.4 から Eψ∥ρ^A−1^/2∥1\mathbb E_\psi\lVert \hat\rho_A-\hat 1/2\rVert _1 の上界を求めよ。これは AA の測定結果について何を意味するか。
解答

(1) (dA+dB)/(dAdB+1)=1026/2049=0.50073(d_A+d_B)/(d_Ad_B+1)=1026/2049=0.50073。完全に混合した qubit の値 0.50.5 との差は 7.3×10−47.3\times10^{-4} しかない。

(2) 上界は ln⁡(2×0.50073)=ln⁡(1+3/2049)=1.463×10−3\ln(2\times0.50073)=\ln(1+3/2049)=1.463\times10^{-3} nat。厳密な値は ln⁡2−(∑j=102520481/j−1/2048)=7.32×10−4\ln2-\bigl(\sum_{j=1025}^{2048}1/j-1/2048\bigr)=7.32\times10^{-4} nat で、展開した形 (dA2−1)/(2dAdB)=3/4096=7.32×10−4(d_A^2-1)/(2d_Ad_B)=3/4096=7.32\times10^{-4} と3桁で一致する。上界と厳密な値の比は 1.9981.998 で、D≈12χ2D\approx\frac12\chi^2 から予想される 22 にほぼ等しい。

(3) dA/dBeff=2/1024=0.0442\sqrt{d_A/d_B^{\mathrm{eff}}}=\sqrt{2/1024}=0.0442。式 (2.3.15) から、∥O^∥∞=1\lVert \hat O\rVert _\infty=1 の任意の物理量（たとえば Pauli 行列のどれか）について、期待値と完全に混合した状態での値 00 との差の平均は 0.04420.0442 以下である。10 個の qubit の自由度だけで、1つの qubit は温度無限大の熱平衡状態とほとんど区別できなくなる。全体は純粋状態のままで、全体の DD は ln⁡211=7.62\ln2^{11}=7.62 nat である。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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