比べる2つの状態：放射の状態と最大に混ざった状態

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第3章 §7.3.1　★★★ 純粋状態の全体が持つ情報 $\ln d$ は、放射だけの情報・ブラックホールだけの情報・両者の相互情報量の3つに過不足なく分かれ、Page 曲線はその配分の時間変化である

純粋状態から重力崩壊でできたブラックホールが、Hawking 放射を出して最後に蒸発しきったとする。量子力学の時間発展がユニタリなら、ブラックホールと放射を合わせた全体はいつまでも純粋状態のままで、蒸発しきった後に残る放射も純粋状態でなければならない。一方、Hawking の計算（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第12章）では、放射は温度 $T_{\mathrm H}$ の熱的な放射で、出るたびに放射のエントロピーが増えていく。最後に熱的な放射だけが残るなら、純粋状態が混合状態へ変わったことになる。前の章（第7部第2章）で述べた情報喪失のパラドックスである。

この章の問いは、全体がユニタリに時間発展するなら、放射のエントロピーは時間とともにどう変わらなければならないか、である。答えは D. N. Page（1993）が出した。放射のエントロピーは初めは Hawking の計算どおりに増えるが、ブラックホールのエントロピーと等しくなる時刻（Page 時間）で折り返し、蒸発しきるときに $0$ へ戻る。この山形の曲線を Page 曲線と呼ぶ。Page 曲線は、ブラックホールの中で何が起きているかを知らなくても、「全体が純粋」と「状態が典型的」という2つの仮定だけから出る。仮定の2つ目は第2部第3章の典型性そのものである。

この巻の言葉で言い直すと、この章で比べる2つの状態は、放射の状態 $\hat\rho_R$ と、放射の Hilbert 空間で最大に混ざった状態 $\mathbf 1/d_R$ である。その間の相対エントロピー $D(\hat\rho_R\,\|\,\mathbf 1/d_R)=\ln d_R-S(\hat\rho_R)$ は、放射だけを見て読み取れる情報の量で、Page はこれを放射に含まれる情報と呼んだ。当てる性質は2つある。1つ目は $D\ge0$ と、純粋状態の2つの部分のエントロピーが等しいこと（第3部第2章の Schmidt 分解）で、ここから $S(\hat\rho_R)$ の上限 $\min(\ln d_R,\ln d_B)$ が出る。2つ目は第2部第3章で示した2次の上界 $D\le\ln(1+\chi^2)$ で、Haar 平均を取ると、乱数の状態がこの上限にほぼ達することが出る。

出てくるものは3つある。1つ目は qubit の乱数状態で描いた Page 曲線と、Page 時間の前は放射に情報がほとんど出てこないこと。2つ目は、それを蒸発するブラックホールに当てはめた Page 時間（太陽質量で $1.19\times10^{67}$ 年）と、Hawking の計算がどの時刻からどう矛盾するか。3つ目は、Page 時間の後に出てくる放射が、ブラックホールの中でなく前に出た放射ともつれていること。これは次の2つの章（Hayden–Preskill とファイアウォール）の出発点になる。最後に、学部の熱力学で習う黒体放射のエントロピーと、統計力学の「エントロピーは足し算できる」という形を、この章の形と並べる。

この章の対数は自然対数で、情報量の単位は nat とする（1 ビット $=\ln2$ nat）。von Neumann エントロピー $S(\hat\rho)$ は無次元で、ブラックホールのエントロピー $S_{\mathrm{BH}}=k_{\mathrm B}c^3A/(4G\hbar)$ と放射を熱力学で数えたエントロピー $S_{\mathrm{rad}}$ は $k_{\mathrm B}$ 込みで書き、比べるときは $k_{\mathrm B}$ で割る。恒等演算子は $\mathbf 1$、Haar 平均は $\mathbb E_\psi$ と書く（第2部第3章と同じ）。二値エントロピーは $h_{\mathrm b}(p)=-p\ln p-(1-p)\ln(1-p)$ である。

おもちゃの模型

ブラックホールの中身を知らないので、模型は有限次元の量子系で作る。全体を $N$ 個の qubit とし、初めはすべてがブラックホール $B$ に属しているとする。ブラックホールは1刻みごとに qubit を1個ずつ外へ放ち、$k$ 刻みの後には $k$ 個が放射 $R$、残りの $N-k$ 個が $B$ に属している。次元は

$$d_R=2^k,\qquad d_B=2^{N-k},\qquad d=d_Rd_B=2^N\tag{7.3.1}$$

である。全体の状態は、初めの純粋状態にユニタリな時間発展を当てたものなので、どの刻みでも純粋状態 $| \psi \rangle \in\mathcal{H}_R\otimes\mathcal{H}_B$ である。放射の状態は部分トレース $\hat\rho_R=\operatorname{Tr}_B| \psi \rangle \langle \psi |$ で、ブラックホールの状態は $\hat\rho_B=\operatorname{Tr}_R| \psi \rangle \langle \psi |$ である。

本物のブラックホールに当てはめるときは、$B$ の次元を $\mathrm{e}^{S_{\mathrm{BH}}/k_{\mathrm B}}$ と読む。これは「Bekenstein–Hawking エントロピーはブラックホールの微視的な状態の数の対数である」という仮定で、7.3.4 節で使うときにもう一度断る。何を数えているのかは第7部第1章の 7.1.5 節で扱った問いで、この章では仮定として置く。

相手の状態と、放射に含まれる情報

放射の状態 $\hat\rho_R$ と比べる相手には、放射の Hilbert 空間で最大に混ざった状態 $\mathbf 1/d_R$ を選ぶ。熱的な放射を qubit の模型に移すと、温度無限大の熱平衡状態がこれに当たる。2つの状態の相対エントロピーは

$$D(\hat\rho_R\,\|\,\mathbf 1/d_R)=\operatorname{Tr}\hat\rho_R(\ln\hat\rho_R+\ln d_R)=\ln d_R-S(\hat\rho_R)\tag{7.3.2}$$

である。D. N. Page（1993）はこの量 $\ln d_R-S(\hat\rho_R)$ を、放射に含まれる情報と呼んだ¹1D. N. Page (1993), Physical Review Letters 71, 1291–1294 とD. N. Page (1993), Physical Review Letters 71, 3743–3746。下の脚注へ閉じる。第1部第8章の Stein の補題の言葉では、これは放射をたくさん集めて「温度無限大の熱的な放射」と見分けるときの誤りの指数である。$D=0$ なら、放射だけをどう測っても熱的な放射と区別できず、放射からは何も読み取れない。

ブラックホールの側も同じように $D(\hat\rho_B\,\|\,\mathbf 1/d_B)=\ln d_B-S(\hat\rho_B)$ を作り、さらに放射とブラックホールの相関の量として相互情報量$I(R;B)=D(\hat\rho_{RB}\,\|\,\hat\rho_R\otimes\hat\rho_B)$ を考える。この3つの間には次の恒等式が成り立つ。

証明

左辺は式 (7.3.2) と同じ計算で $\ln d-S(\hat\rho_{RB})$ である。右辺は $(\ln d_R-S(\hat\rho_R))+(\ln d_B-S(\hat\rho_B))+(S(\hat\rho_R)+S(\hat\rho_B)-S(\hat\rho_{RB}))$ で、$S(\hat\rho_R)$ と $S(\hat\rho_B)$ が打ち消し合い、$\ln d_R+\ln d_B=\ln d$ から左辺に等しい。純粋状態では $S(\hat\rho_{RB})=0$ で、Schmidt 分解（第3部第2章）から $\hat\rho_R$ と $\hat\rho_B$ の0でない固有値が一致するので $S(\hat\rho_R)=S(\hat\rho_B)$ である。

全体が純粋なら、左辺の $\ln d=N\ln2$ は時間によらない。ユニタリな時間発展は全体の情報を増やしも減らしもせず、この一定の量が3つの項にどう配分されるかだけが時間とともに変わる。Page 曲線は、このうち $I(R;B)/2=S(\hat\rho_R)$ の時間変化である。式 (7.3.3) から、情報を読み取る方法は3通りしかないことも分かる。放射だけを測るか、ブラックホールだけを測るか、両方を合わせて測るか、である。ブラックホールの中は外から測れないので、外にいる観測者が読み取れるのは第1項だけである。

Hawking の計算を模型に移す

Hawking の計算では、地平面をまたぐ真空の中で外へ出るモードと内側に残る相手のモードが対になっていて、外のモードだけを見ると熱的に見える（第7部第2章）。これを qubit の模型に移すと、刻みごとに出る qubit はブラックホールの中に残る相手の qubit と Bell 状態をなし、放射の各 qubit は単独では完全に混ざっている。$k$ 刻みの後には $S(\hat\rho_R)=k\ln2$ で、放射に含まれる情報 (7.3.2) はいつまでも $0$ である。この「Hawking の状態」では、相手の qubit を $B$ の中にしまう場所が要る。$B$ には $N-k$ 個の qubit しか無いので、$k>N-k$ になった時点で相手をしまう場所が足りなくなる。これが模型の上での矛盾の形で、7.3.3 節で式にする。

1　D. N. Page (1993), Physical Review Letters 71, 1291–1294 とD. N. Page (1993), Physical Review Letters 71, 3743–3746。