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この章のまとめ

2026年10月15日9分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第7部 第2章 Hawking 放射はエンタングルメントでできている

AI 生成・木下が未勉強

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第2章 §7.2.7　★★★ 外の熱状態は内外の純粋状態の片側で、熱的な乱雑さはすべて相手とのエンタングルメントである。Hawking の計算は放射の von Neumann エントロピーを単調に増やし、純粋状態を混合状態へ移す

この章で比べた2つの状態は、地平面の外の放射の状態 ρ^R\hat\rho_{\mathrm R} と温度 THT_{\mathrm H} の Gibbs 状態 ρ^β\hat\rho_\beta だった。地平面の近くでなめらかな真空は、外の Hawking モードと内側の相手のモードの熱場二重状態（2モードのスクイーズド真空）の積で、外だけを比べると D(ρ^R ∥ ρ^β)=0D(\hat\rho_{\mathrm R}\,\|\,\hat\rho_\beta)=0、内と外を合わせて積状態と比べると I=2S熱/kBI=2S_{\text{熱}}/ k_{\mathrm B} になる。熱的な乱雑さは外に閉じた性質ではなく、内と外の相関の量である。その相関は、古典的な分 SS と量子的な分 SS に等しく分けられる。

当てた性質は、純粋化が相手の側のユニタリを除いて1つであること（内側で何をしても外の熱分布は変わらない）と、部分トレースで D が増えないこと（L を捨てると区別の量がすべて失われる）だった。出てきたものは3つある。外の観測者は、地平面の近くの時空の形と真空の条件だけで決まる相手とのもつれの片側を見ているので熱を見て、その温度は物質の詳細によらない。Hawking の計算では放射の von Neumann エントロピーが熱力学のエントロピーに等しく、3+1 次元の黒体の見積もりで dSrad=−43dSBH\mathrm{d} S_{\mathrm{rad}}=-\frac43\mathrm{d} S_{\mathrm{BH}}、蒸発し終えると 43S0/kB\frac43S_0/ k_{\mathrm B} に達する。その結果、純粋状態が混合状態へ移り、同じ質量の初期状態の組の D がすべて 0 になる。これが情報喪失のパラドックスの正確な形で、立場1（ユニタリ性を捨てる）、立場2（残骸）、立場3（放射の細かい相関）は、3つの仮定 (i)〜(iii) のうちどれを捨てるかで分かれる。授業で習うカノニカル分布の熱浴・黒体放射・パラメトリック下方変換は、どれも熱場二重状態の片側として読める。

次の章（第7部第3章）では、ユニタリ性を保ったときに放射のエントロピーが描くはずの曲線（Page 曲線）を、乱数の純粋状態の典型性から求める。

この章の道具

  • 熱場二重状態 ∣TFDβ⟩=Z−1/2∑ne−βEn/2∣n⟩∣n⟩| \mathrm{TFD}_\beta \rangle =Z^{-1/2}\sum_n\mathrm{e}^{-\beta E_n/2}| n \rangle | n \rangle、片側は ρ^β\hat\rho_\beta、D(ρ^R ∥ ρ^β)=0D(\hat\rho_{\mathrm R}\,\|\,\hat\rho_\beta)=0、I(L;R)=2S(ρ^β)I(\mathrm L;\mathrm R)=2S(\hat\rho_\beta)。
  • 1モード：tanh⁡r=e−x/2\tanh r=\mathrm{e}^{-x/2}、nˉ=sinh⁡2r\bar n=\sinh^2r、s(x)=(nˉ+1)ln⁡(nˉ+1)−nˉln⁡nˉ=nˉx−ln⁡(1−e−x)s(x)=(\bar n+1)\ln(\bar n+1)-\bar n\ln\bar n=\bar nx-\ln(1-\mathrm{e}^{-x})。
  • 相関の分け方：D(ψ ∥ σ^cl)=D(σ^cl ∥ ρ^⊗ρ^)=SD(\psi\,\|\,\hat\sigma_{\mathrm{cl}})=D(\hat\sigma_{\mathrm{cl}}\,\|\,\hat\rho\otimes\hat\rho)=S。(H^R−H^L)∣TFD⟩=0(\hat H_{\mathrm R}-\hat H_{\mathrm L})| \mathrm{TFD} \rangle =0。
  • Hawking の対：tanh⁡rω=e−πcω/κ=e−ℏω/(2kBTH)\tanh r_\omega=\mathrm{e}^{-\pi c\omega/\kappa}=\mathrm{e}^{-\hbar\omega/(2 k_{\mathrm B} T_{\mathrm H})}。1+1 次元1本の通り道で dS/dt=πkBT/(6ℏ)\mathrm{d} S/\mathrm{d} t=\pi k_{\mathrm B} T/(6\hbar)。
  • 放射のエントロピー：dSrad=2 dE/T\mathrm{d} S_{\mathrm{rad}}=2\,\mathrm{d} E/T（1+1 次元）、43dE/T\frac43\mathrm{d} E/T（3+1 次元）。S(ρ^R)=43[S0−SBH(t)]/kBS(\hat\rho_{\mathrm R})=\frac43[S_0-S_{\mathrm{BH}}(t)]/ k_{\mathrm B}、τ∗=1−(4/7)3/2\tau_*=1-(4/7)^{3/2}。
  • ユニタリは D を保つ。Hawking の写像は同じ (M,J,Q)(M,J,Q) の組の D を 0 にする。ユニタリなら S(ρ^R)≤SBH/kBS(\hat\rho_{\mathrm R})\le S_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B}。

総合問題　1組のモードの対で見る Hawking 放射と情報の勘定 ★★★

オリジナルHawking 放射のモードの対を1組だけ取り出し、Hawking モードの振動数を x=ℏω/(kBTH)=ln⁡3x=\hbar\omega/( k_{\mathrm B} T_{\mathrm H})=\ln3 とする。外の Hawking モードを R、内側の相手を L とする。

  1. (1) 対の状態を式 (7.2.5) の形に書き、tanh⁡2r\tanh^2r、R の平均の量子数 nˉ\bar n、エンタングルメント・エントロピー ss を求めよ。（使う道具：7.2.1 節・光学と量子エレクトロニクス 第31章の2モードのスクイーズド真空）
  2. (2) 対の状態 ψ\psi と、同じ光子数の分布を古典的に相関させた状態 σ^cl\hat\sigma_{\mathrm{cl}}、積状態 ρ^L⊗ρ^R\hat\rho_{\mathrm L}\otimes\hat\rho_{\mathrm R} の間の2つの相対エントロピーを求め、和が I(L;R)I(\mathrm L;\mathrm R) になることを確かめよ。（使う道具：7.2.2 節・第3部第2章の量子相互情報量）
  3. (3) この対のもつれを、第3部第4章の蒸留できる Bell 対（ebit）の数で表せ。対が多数あるとき、外の観測者が L に触れずに R だけでこのもつれを取り出せないのはなぜか。（使う道具：第3部第4章のエンタングルメントの蒸留・7.2.2 節の信号を送れないこと）
  4. (4) ブラックホールを n=10n=10 量子ビットの系とする模型を考える。1歩ごとにブラックホールの量子ビットが1個外へ出て放射の量子ビットになり、それは内側に残った量子ビットの1個と Bell 対をなす（Hawking の計算の量子ビット版）。kk 歩後の S(ρ^R)S(\hat\rho_{\mathrm R}) と、ブラックホールの次元から決まる上限 ln⁡dim⁡HB\ln\dim\mathcal{H}_{\mathrm B} を比べ、何歩目で矛盾するかを求めよ。（使う道具：7.2.5 節・第3部第2章の Schmidt 分解）
  5. (5) Hawking モードの量子が出るたびにブラックホールはエネルギー ℏω\hbar\omega を失い、第一法則から SBH/kBS_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B} は ℏω/(kBTH)=x\hbar\omega/( k_{\mathrm B} T_{\mathrm H})=x だけ減る。このモードから平均で失われる SBH/kBS_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B} は nˉx\bar nx である。s−nˉxs-\bar nx を求め、その符号が一般化第二法則とどう関係するかを述べよ。（使う道具：7.2.4 節・解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第19章の第一法則・第7部第1章の一般化第二法則）
解答

(1) tanh⁡2r=e−x=1/3\tanh^2r=\mathrm{e}^{-x}=1/3、nˉ=1/(eln⁡3−1)=1/2\bar n=1/(\mathrm{e}^{\ln3}-1)=1/2。状態は

∣ψ⟩=23∑n=0∞3−n/2∣n⟩L∣n⟩R| \psi \rangle =\sqrt{\tfrac23}\sum_{n=0}^\infty3^{-n/2}| n \rangle _{\mathrm L}| n \rangle _{\mathrm R}

で、pn=23(13)np_n=\frac23(\frac13)^n。エンタングルメント・エントロピーは

s=(nˉ+1)ln⁡(nˉ+1)−nˉln⁡nˉ=32ln⁡32+12ln⁡2=0.6082+0.3466=0.9548 nat.s=(\bar n+1)\ln(\bar n+1)-\bar n\ln\bar n=\tfrac32\ln\tfrac32+\tfrac12\ln2=0.6082+0.3466=0.9548\ \text{nat}.

(2) 式 (7.2.9) から D(ψ ∥ σ^cl)=−∑npnln⁡pn=s=0.9548D(\psi\,\|\,\hat\sigma_{\mathrm{cl}})=-\sum_np_n\ln p_n=s=0.9548、D(σ^cl ∥ ρ^L⊗ρ^R)=∑npnln⁡(pn/pn2)=s=0.9548D(\hat\sigma_{\mathrm{cl}}\,\|\,\hat\rho_{\mathrm L}\otimes\hat\rho_{\mathrm R})=\sum_np_n\ln(p_n/p_n^2)=s=0.9548。和は 1.9096=2s1.9096=2s で、ψ\psi が純粋なので I(L;R)=S(ρ^L)+S(ρ^R)−0=2sI(\mathrm L;\mathrm R)=S(\hat\rho_{\mathrm L})+S(\hat\rho_{\mathrm R})-0=2s と一致する。

(3) 純粋状態のもつれは、多数の複製から蒸留できる Bell 対の数（1組あたり）で s/ln⁡2=1.3774s/\ln2=1.3774 ebit である（第3部第4章の濃縮の手順）。蒸留には L と R の両方での局所操作と古典通信が要る。R の側だけの操作では、7.2.2 節のとおり R の状態 ρ^β\hat\rho_\beta しか扱えず、それは熱状態の積なのでR の中にもつれは1つもない（R だけの中の相互情報量も 0）。外の観測者が L に触れられない限り、このもつれは外からは「熱」としてしか見えない。

(4) kk 歩後、放射は kk 個の量子ビットで、それぞれが内側の量子ビットと Bell 対をなすので S(ρ^R)=kln⁡2S(\hat\rho_{\mathrm R})=k\ln2。ブラックホールに残る量子ビットは n−kn-k 個でln⁡dim⁡HB=(n−k)ln⁡2\ln\dim\mathcal{H}_{\mathrm B}=(n-k)\ln2。全体が純粋なら S(ρ^R)=S(ρ^B)≤(n−k)ln⁡2S(\hat\rho_{\mathrm R})=S(\hat\rho_{\mathrm B})\le(n-k)\ln2 なので、k≤n−kk\le n-k、すなわち k≤5k\le5 でなければならない。k=6k=6 歩目で、放射の量子ビットと対をなす内側の量子ビットが足りなくなり、矛盾する。これは図 7.2.3 で赤い曲線が青い曲線を越える τ∗\tau_* の量子ビット版で、ここでは放射とブラックホールのエントロピーの比が1なので、ちょうど半分で交わる。

(5) s−nˉx=−ln⁡(1−e−x)=ln⁡32=0.4055>0s-\bar nx=-\ln(1-\mathrm{e}^{-x})=\ln\frac32=0.4055>0（nˉx=12ln⁡3=0.5493\bar nx=\frac12\ln3=0.5493）。式 (7.2.7) の第2の形から、どの x>0x>0 でも s−nˉx=−ln⁡(1−e−x)>0s-\bar nx=-\ln(1-\mathrm{e}^{-x})>0 である。放射が受け取るエントロピーは、ブラックホールが失うエントロピーより大きい。これはモードごとの一般化第二法則（SBH/kB+S(ρ^R)S_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B}+S(\hat\rho_{\mathrm R}) が増える）で、すべてのモードについて足すと式 (7.2.14) の比 4/3>14/3>1 になる。差の ln⁡Z=−ln⁡(1−e−x)\ln Z=-\ln(1-\mathrm{e}^{-x}) は、統計力学の S/kB=βU+ln⁡ZS/ k_{\mathrm B}=\beta U+\ln Z の第2項にあたる。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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