出てくるもの（2）：時間発展による平衡化

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第2部 第3章 §2.3.5　★★★ 決まった初期状態から出発しても、部分系は長い時間のほとんどで時間平均の状態の近くにいる。全体の $D$ は時間によらず一定のまま

前の節は「状態をでたらめに選べば」という主張だった。実際の系は決まった初期状態から出発し、決まったハミルトニアン $\hat H$ で時間発展する。ランダムに選ぶ操作をユニタリな時間発展で置き換えたとき、部分系はどこへ向かうのか。

時間平均の状態

$\hat H$ の固有値を $E_n$、固有状態を $| n \rangle$ とし、初期状態を $| \psi(0) \rangle =\sum_nc_n| n \rangle$ と展開する。時刻 $t$ の状態の密度行列は

$$\hat\rho(t)=\sum_{m,n}c_mc_n^*\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E_m-E_n)t/\hbar}| m \rangle \langle n |$$

である。時間の長さ $t_{\mathrm f}$ の平均を $\overline{f}=\lim_{t_{\mathrm f}\to\infty}\frac1{t_{\mathrm f}}\int_0^{t_{\mathrm f}}f(t)\,\mathrm{d} t$ と書く。固有値に縮退が無ければ、$m\ne n$ の項は時間平均で消え、

$$\overline{\hat\rho(t)}=\hat\rho_{\mathrm d}\coloneqq\sum_n\lvert c_n\rvert ^2| n \rangle \langle n |\tag{2.3.23}$$

になる。$\hat\rho_{\mathrm d}$ をこの章では時間平均の状態と呼ぶ（対角アンサンブルとも呼ばれる）。$\lvert c_n\rvert ^2$ は時間によらない保存量なので、$\hat\rho_{\mathrm d}$ はすべての保存量 $| n \rangle \langle n |$ の期待値を初期状態と同じに保つ中でエントロピーが最大の状態であり、最大エントロピー原理（第2部第1章）の答えになっている。時間平均の状態がどれだけ広がっているかを、実効次元

$$d_{\mathrm{eff}}=\frac{1}{\sum_n\lvert c_n\rvert ^4}=\frac{1}{\operatorname{Tr}\hat\rho_{\mathrm d}^2}\tag{2.3.24}$$

で測る。初期状態が $K$ 個の固有状態に均等に広がっていれば $d_{\mathrm{eff}}=K$ である。

全体の $D$ は動かない

全体の状態 $\hat\rho(t)$ と $\hat\rho_{\mathrm d}$ の相対エントロピーは、$\ln\hat\rho_{\mathrm d}$ が $\hat H$ の固有基底で対角なので $-\operatorname{Tr}\hat\rho(t)\ln\hat\rho_{\mathrm d}=-\sum_n\lvert c_n\rvert ^2\ln\lvert c_n\rvert ^2$ となり、

$$D(\hat\rho(t)\,\|\,\hat\rho_{\mathrm d})=S(\hat\rho_{\mathrm d})-S(\hat\rho(t))=S(\hat\rho_{\mathrm d})\tag{2.3.25}$$

で時間によらない。全体の状態は時間平均の状態に少しも近づかない。カノニカル状態 $\hat\rho_{\mathrm G}=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z$ と比べても同じである。$\ln\hat\rho_{\mathrm G}$ も $\hat H$ の固有基底で対角なので、$\hat H$ の固有基底で対角な任意の状態 $\hat\sigma$ について

$$D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=D(\hat\rho\,\|\,\hat\rho_{\mathrm d})+D(\hat\rho_{\mathrm d}\,\|\,\hat\sigma)\tag{2.3.26}$$

が成り立つ（$\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\sigma=\operatorname{Tr}\hat\rho_{\mathrm d}\ln\hat\sigma$ を使って $D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=[S(\hat\rho_{\mathrm d})-S(\hat\rho)]+[-S(\hat\rho_{\mathrm d})-\operatorname{Tr}\hat\rho_{\mathrm d}\ln\hat\sigma]$ と分ける）。これは $D$ の Pythagoras の関係で、全体の状態とカノニカル状態の隔たりは「固有基底の重ね合わせの位相（コヒーレンス）の分」と「エネルギーの分布の分」の和に分かれる。どちらの項もユニタリな時間発展では変わらないので、全体として熱平衡に近づくことは決してない。平衡化が起きるとすれば、それは部分系で見たときに限られる。

部分系の平衡化

証明

$\operatorname{Tr}\hat O\hat\rho(t)-\operatorname{Tr}\hat O\hat\rho_{\mathrm d}=\sum_{m\ne n}c_mc_n^*O_{nm}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(E_m-E_n)t/\hbar}$ の絶対値の2乗を展開すると、指数の肩は $(E_m-E_n)-(E_{m'}-E_{n'})$ になる。エネルギー差に縮退が無いので、時間平均で残るのは $(m,n)=(m',n')$ の項だけで、

$$\overline{\lvert \cdots\rvert ^2}=\sum_{m\ne n}\lvert c_m\rvert ^2\lvert c_n\rvert ^2\lvert O_{nm}\rvert ^2\le\operatorname{Tr}(\hat\rho_{\mathrm d}\hat O\hat\rho_{\mathrm d}\hat O^\dagger)$$

となる（$m=n$ の項を足しただけ大きくした）。$\hat X=\hat\rho_{\mathrm d}\hat O$、$\hat Y=\hat\rho_{\mathrm d}\hat O^\dagger$ とおいて Cauchy–Schwarz の不等式 $\lvert \operatorname{Tr}\hat X\hat Y\rvert \le\lVert \hat X^\dagger\rVert _2\lVert \hat Y\rVert _2$ を使い、$\lVert \hat\rho_{\mathrm d}\hat O^\dagger\rVert _2^2=\operatorname{Tr}(\hat O\hat\rho_{\mathrm d}^2\hat O^\dagger)\le\lVert \hat O\rVert _\infty^2\operatorname{Tr}\hat\rho_{\mathrm d}^2$（もう一方も同様）を当てれば式 (2.3.27) が出る。

式 (2.3.28) は、$A$ の正規直交基底で $\hat O_{aa'}=| a' \rangle \langle a |\otimes\hat 1_B$（$\lVert \hat O_{aa'}\rVert _\infty=1$）をとると $\operatorname{Tr}\hat O_{aa'}\hat\rho(t)=(\hat\rho_A(t))_{aa'}$ になることを使う。$d_A^2$ 個の成分について式 (2.3.27) を足して $\overline{\lVert \hat\rho_A(t)-\hat\rho_{A,\mathrm d}\rVert _2^2}\le d_A^2/d_{\mathrm{eff}}$、これに $\lVert \cdot\rVert _1\le\sqrt{d_A}\lVert \cdot\rVert _2$ と $\overline{\sqrt Y}\le\sqrt{\overline Y}$ を当てる。

式 (2.3.27) は Reimann（2008）、Phys. Rev. Lett. 101、190403 の評価の形で、部分系の形は Linden, Popescu, Short, Winter（2009）、Phys. Rev. E 79、061103 が$d_A^3$ を $d_A^2$ に改良した評価を与えている。仮定は2つで、エネルギー差に縮退が無いこと（相互作用のある一般的な系で期待される性質）と、初期状態が多くの固有状態に広がっていること（$d_{\mathrm{eff}}\gg d_A^3$）である。マクロな系でエネルギーの幅 $\Delta E$ を持つ初期状態は、$\mathrm{e}^{S/ k_{\mathrm B}}$ の程度の固有状態に広がるので、$d_{\mathrm{eff}}$ は巨大になる。このとき部分系は、ほとんどすべての時刻で時間平均の状態 $\hat\rho_{A,\mathrm d}$ の近くにいる。ずれが大きい時刻（初期の過渡期や、ごくまれな再帰）もあるが、その時間の割合は小さい。平衡化までにかかる時間はこの定理からは出てこない。式 (2.3.27) は無限に長い時間の平均についての主張である。

図 2.3.3 は、$d_A=2$、$d_B=64$ の系にランダムなエルミート行列のハミルトニアンを与え、$A$ を $| 0 \rangle$、$B$ をランダムな状態に置いた積状態から出発した数値計算である。エネルギーの単位を $E_0$（スペクトルの幅がおよそ $2.7E_0$）とし、時間を $\hbar/E_0$ で測る。$d_{\mathrm{eff}}=67.3$ で上界 (2.3.28) は $0.345$、$0\le t\le2000\hbar/E_0$ の時間平均は $0.14$ である。初期の積状態は $A$ の純粋状態なので距離はほぼ $1$ から出発し、数単位の時間で上界の下まで落ちて、その後は小さくゆらぎ続ける。