出てくるもの (2)：止まって見える分布は保存量の関数

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第3部 第1章 §3.1.4　★★★ 時間によらない分布は $\{H,\rho\}=0$ を満たすもの。$f(H)$ の形はすべてそうで、ミクロカノニカル分布もカノニカル分布もこの仲間

定常分布の条件

熱平衡の状態では、マクロに見える量が時間によらない。そこでアンサンブルの密度そのものが時間によらない場合、すなわち $\partial\rho/\partial t=0$ を考える。Liouville 方程式から、その条件は

$$\{H,\rho\}=0\tag{3.1.14}$$

である。第1部第11章の言葉では、$\rho$ が保存量であることと同じである（第1部第11章）。密度は軌道に沿って一定なので、時間によらない密度は、軌道に沿って一定な関数、つまり保存量でなければならない。したがって、$H$ が時刻を含まないとき、エネルギーの任意の関数

$$\rho(q,p)=F\bigl(H(q,p)\bigr)\tag{3.1.15}$$

は定常である。実際、$\{H,F(H)\}=F'(H)\{H,H\}=0$ である。運動量や角運動量のようなほかの保存量があれば、それらの関数も定常である。

統計力学で使う2つの分布はどちらもこの形をしている。

$$\rho_{\mathrm{mc}}\propto\delta\bigl(H(q,p)-E\bigr),\qquad \rho_{\mathrm{can}}=\frac{\mathrm{e}^{-\beta H(q,p)}}{\int\mathrm{e}^{-\beta H}\,\mathrm{d}^{2f}z}.\tag{3.1.16}$$

左は全エネルギーが $E$ の面（エネルギー面）の上だけに重みを置くミクロカノニカル分布、右はカノニカル分布である（第3部第2章・第3部第3章）。ここで分かるのは、Liouville の定理がこれらの分布を「力学と矛盾しない」と保証することまでである。$F(H)$ のどれを選ぶかは Liouville の定理からは決まらない。エネルギー面の上で一様に重みを置くこと（等重率）を選ぶ根拠と、それがいつ正当化されるかは、次の章で扱う。

エネルギー面の上の一様分布と時間平均

1自由度の周期運動では、エネルギー面は1本の閉曲線（1つの軌道）である。この場合、$\delta(H-E)$ で重みを付けた平均と、1つの軌道に沿った時間平均とが一致することを確かめることができる。$\delta(H-E)$ を $p$ について積分すると、$H(q,p)=E$ を満たす $p=\pm p_E(q)$ の2点で $1/\lvert \partial H/\partial p\rvert =1/\lvert \dot q\rvert$ の重みが立つので、

$$\int A(q,p)\,\delta(H-E)\,\mathrm{d} p=\sum_{p=\pm p_E(q)}\frac{A(q,p)}{\lvert \dot q\rvert } .\tag{3.1.17}$$

一方、軌道に沿った時間平均では、$q$ と $q+\mathrm{d} q$ の間にいる時間が $\mathrm{d} q/\lvert \dot q\rvert$ である。どちらの重みも $1/\lvert \dot q\rvert$ なので、2つの平均は一致する。エネルギー面の上で「一様」に見える $\delta(H-E)$ は、$q$ の上では一様でなく、遅く動く場所（転回点の近く）ほど重くなる。

自由度が2以上では、エネルギー面は $2f-1$ 次元で、1本の軌道がそれを埋め尽くすとは限らない。保存量がほかにあれば軌道はもっと狭い面に閉じ込められる。軌道がエネルギー面をくまなく回るかどうか（エルゴード性）は、Liouville の定理とは別の問題である。