この章のまとめ

(1) 系が左右五分五分で、測定は左右について対称に誤るので、記憶の分布は $p_M=(\frac12,\frac12)$ である。平らな部屋では $F_1-F_0=- k_{\mathrm B} T\ln2$ で、平衡分布は部屋の長さに比例する $\pi_M=(\frac13,\frac23)$ である。$D(p_M\,\|\,\pi_M)=\frac12\ln\frac{1/2}{1/3}+\frac12\ln\frac{1/2}{2/3}=\frac12\ln\frac98=0.0589$ nat である。式 (4.5.3) から $\Delta F_M=\frac12(F_1-F_0)- k_{\mathrm B} T\ln2=-\frac32 k_{\mathrm B} T\ln2=-1.0397\, k_{\mathrm B} T$ である。

(2) 相関は2値対称通信路の相互情報量 $I=\ln2-h_{\mathrm b}(0.1)=0.3681$ である。式 (4.5.12) から$W_{\mathrm{meas}}\ge\Delta F_M+ k_{\mathrm B} T\,I=(-1.0397+0.3681)\, k_{\mathrm B} T=-0.6717\, k_{\mathrm B} T$ である。この記憶では、広い方の部屋へ書き込む分と、誤りで乱数を書き込む分の両方で、測定は仕事を取り出しながら行える。誤りが無くても（$\varepsilon =0$、$I=\ln2$）下限は $-\frac12 k_{\mathrm B} T\ln2<0$ で、$r=2$ のこの記憶ではどの $\varepsilon$ でも測定の下限は負である。

(3) 式 (4.5.15) で系は1周で元に戻る（$\Delta F_X=0$）ので、$W_{\mathrm{ext}}\le k_{\mathrm B} T\,I=0.3681\, k_{\mathrm B} T$ である。具体的には、「左」と読んだら仕切りを左の部屋が全体の $0.9$ になる位置まで準静的に動かし、「右」と読んだら逆にすると、取り出す仕事の平均は $k_{\mathrm B} T[0.9\ln1.8+0.1\ln0.2]= k_{\mathrm B} T[\ln2-h_{\mathrm b}(0.1)]$ で上限に達する。

(4) 消去は記憶の分布を $p_M$ から $\delta_{m,0}$ へ戻す操作で、式 (4.5.13)（$I_{\mathrm{rem}}=0$）から $W_{\mathrm{eras}}\ge-\Delta F_M=1.0397\, k_{\mathrm B} T$ である。対称な記憶の $k_{\mathrm B} T\ln2=0.6931\, k_{\mathrm B} T$ より高い。標準の状態を狭い方の部屋に取ったので、消去が高くつき、その分だけ (2) の測定が安くなっている。

(5) 1周の正味の取り出しは $W_{\mathrm{ext}}-W_{\mathrm{meas}}-W_{\mathrm{eras}}\le0.3681+0.6717-1.0397=0$ である。3つの段階をすべて準静的に行ってちょうど0で、第二法則に反する機関にはならない。記憶の作りの効果 $\Delta F_M=-1.0397\, k_{\mathrm B} T$ は (2) と (4) で打ち消し合い、残るのは相関の $k_{\mathrm B} T\,I$ の出し入れだけである。

(6) 仕切りを抜くと粒子は長さ $3\ell_0$ に広がり（仕事0）、それを長さ $\ell_0$ へ等温準静的に押し込む仕事は $k_{\mathrm B} T\ln3=1.0986\, k_{\mathrm B} T$ である。(4) の下限との差は $(1.0986-1.0397)\, k_{\mathrm B} T=0.0589\, k_{\mathrm B} T$ で、(1) の $D(p_M\,\|\,\pi_M)$ に等しい。仕切りを抜くのは急な操作で、そのとき記憶の分布 $p_M=(\frac12,\frac12)$ が新しい平衡分布 $\pi_M=(\frac13,\frac23)$ からずれている分 $k_{\mathrm B} T\,D$ が、そのまま $\langle \Sigma \rangle$ として失われる（第4部第1章の急な操作の余分）。この手順を使うと1周の正味は $-0.0589\, k_{\mathrm B} T$ になり、悪魔は1周ごとにその分だけ損をする。損を0にするには、仕切りを抜く前に部屋の長さの比を $1:1$ にそろえておけばよい（$p_M=\pi_M$ にしてから抜く）。熱で見ても同じで、平らな部屋なので消去の熱は仕事に等しく、下限 $1.0397\, k_{\mathrm B} T$ は位置のエントロピーの減り $\ln2+\frac12\ln\ell_0+\frac12\ln(2\ell_0)-\ln\ell_0=\frac32\ln2$ に等しい。