当てる D の性質：熱浴に残る相関と D

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第4部 第5章 §4.5.2　★★★ 記憶と Gibbs 分布の熱浴を可逆な力学で動かすと、熱浴へ出る熱は $\beta Q_{\mathrm R}=\Delta H+I(Y';R')+D(p_R'\,\|\,\pi_R)$ と正確に3つに分かれる。Landauer 原理は後ろの2項の非負性

記憶と熱浴を1つの可逆な系として書く

前の節では熱浴を「温度 $T$ の環境」として扱い、その中身を書かなかった。この節では熱浴も系として書き、記憶と熱浴を合わせた全体が可逆な力学で動くとする。こうすると、熱がどこへ行き、何が不可逆になったのかを、熱浴の分布の言葉で数えることができる。

記憶の微視的な状態を $y$、熱浴の状態を $r$ とし、どちらも有限個の値をとるとする（連続の位相空間は細かく区切った極限と考える）。熱浴は初め温度 $T$ の Gibbs 分布 $\pi_R(r)=\mathrm{e}^{-\beta E_R(r)}/Z_R$ にあり、記憶とは独立である。つまり同時分布は $p_Y(y)\,\pi_R(r)$ である。記憶の設定を動かす人（仕事の源）は外から時間に依存するポテンシャルとして働き、記憶と熱浴を合わせた全体は、操作の初めと終わりで同じエネルギーの式を持つとする。

全体の時間発展は Hamilton 方程式に従い、Liouville の定理により位相空間の体積を保つ。離散の状態では、これは同時の状態 $(y,r)$ を並べ替える置換（1対1の写像）$\phi$ にあたる。置換は確率を並べ替えるだけなので、同時分布のエントロピーを変えない。量子力学では置換の代わりにユニタリ変換が同じ役をする。

熱浴が受け取る熱を、熱浴のエネルギーの増え

$$Q_{\mathrm R}\coloneqq\langle E_R \rangle _{p_R'}-\langle E_R \rangle _{\pi_R}\tag{4.5.5}$$

で定める。$p_R'$ は操作の後の熱浴の分布である。操作の初めと終わりで記憶と熱浴の間に相互作用のエネルギーが無ければ、エネルギーの保存から $W=\Delta\langle E_Y \rangle +Q_{\mathrm R}$ で、これは第4部第1章の $\Delta U=Q+W$ で $Q=-Q_{\mathrm R}$ とおいたものである。

式 (4.5.6) は不等式でなく等式である。右辺の3項のうち、後ろの2つは相互情報量と相対エントロピーなので非負である（第1部第3章の Gibbs の不等式。量子では Klein の不等式、第3部第2章）。それを捨てると

$$\beta Q_{\mathrm R}\ \ge\ H(Y)-H(Y')\tag{4.5.7}$$

を得る。これが熱で書いた Landauer 原理である。記憶の微視的な分布のエントロピーを $\Delta H$ だけ減らすには、熱浴へ少なくとも $k_{\mathrm B} T\,\Delta H$ の熱を出さなければならない。対称な記憶の五分五分の1ビットを完全に消すと、局所平衡の中の分は変わらないので $H(Y)-H(Y')=H(M)-0=\ln2$ で、Landauer のもとの主張 $Q_{\mathrm R}\ge k_{\mathrm B} T\ln2$ に戻る。

3つの項が意味すること

等式 (4.5.6) の3項は、熱の行き先を3つに分けている。第1項は記憶から熱浴へ移されたエントロピーで、熱浴のエントロピーを増やすのに使われた分である。Landauer 原理はこの項だけを数えている。第2項は、操作の後に記憶と熱浴の間に残った相関である。消去が完全でなく記憶の状態が熱浴の状態と結び付いて残ると、記憶だけ・熱浴だけを見る人にとってその相関は失われた情報で、相関を作るのに使った分の熱を取り戻すことはできない。第3項は、熱浴自身が Gibbs 分布からずれた分である。熱浴が小さいと、記憶から受け取ったエネルギーで熱浴の分布が目に見えて変わり、その分だけ余計に熱が要る。

等号に近づくには、第2項と第3項を0に近づけなければならない。熱浴が非常に大きく、操作がゆっくりで、記憶から熱浴へ渡すエネルギーが熱浴の多数の自由度に薄く広がれば、熱浴は Gibbs 分布からほとんど動かず、相関もほとんど残らない。これがふつうの熱力学で「熱浴」と呼ぶものの理想化である。逆に熱浴が有限の大きさなら、第2項と第3項は正の値を残し、Landauer の限界には達しない。Reeb と Wolf は、熱浴の状態の数が有限のとき、残る分の下限を熱浴の大きさで与えた。

図 4.5.1　2準位の熱浴と記憶を入れ替えて消す（例題 4.5.2）。横軸は熱浴の準位の間隔 $\beta\varepsilon _{\mathrm R}$。黒の実線が熱浴へ出る熱 $\beta Q_{\mathrm R}$、青の破線が記憶のエントロピーの減り $\Delta H=\ln2-h_{\mathrm b}(q)$、赤の一点鎖線が熱浴の $D$。この例では相関の項は0で、黒は青と赤の和に等しい。間隔を広げると消去は完全に近づく（青が $\ln2$ に近づく）が、余分な熱 $D$ はそれより速く増える。