出てくるもの (1)：仕事で書いた Landauer 原理

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第4部 第5章 §4.5.3　★★★ 消去の仕事は $W\ge F[p']-F[p]=\sum_m(p_m'-p_m)F_m+ k_{\mathrm B} T[H(M)-H(M')]$。対称な記憶では $k_{\mathrm B} T\,\Delta H(M)$、偏った・不完全な・非対称な記憶はこの1つの式の特別な場合で、非対称なら $k_{\mathrm B} T\ln2$ を下回る

一般形

第4部第1章では、温度 $T$ の熱浴に接した系の設定を動かす任意の操作について、平均の仕事と非平衡の自由エネルギーの帳尻

$$\langle W \rangle -\Delta F_{\mathrm{eq}}= k_{\mathrm B} T\bigl[D(p_{\mathrm f}\,\|\,\pi_{\mathrm f})-D(p_0\,\|\,\pi_0)\bigr]+ k_{\mathrm B} T\langle \Sigma \rangle ,\qquad\langle \Sigma \rangle \ge0$$

を示した（第4部第1章）。$F[p]-F_{\mathrm{eq}}= k_{\mathrm B} T\,D(p\,\|\,\pi)$ を使って書き直すと、これは

$$\langle W \rangle -\bigl(F[p_{\mathrm f}]-F[p_0]\bigr)= k_{\mathrm B} T\langle \Sigma \rangle \ \ge0\tag{4.5.8}$$

と同じである。初めと終わりの分布が平衡でなくても、仕事は非平衡の自由エネルギーの差で下から押さえられる。$\langle \Sigma \rangle$ は経路の確率と逆回しの経路の確率の $D$ として書けることが 第4部第3章 で示されるので、この不等式もまた $D$ の非負性の1つの姿である。

これを記憶に当てる。初めと終わりで記憶が局所平衡にあれば、命題 4.5.1 の $F[p]=\sum_mp_mF_m- k_{\mathrm B} T\,H(M)$ が使えて、次の一般形を得る。

式 (4.5.9) の右辺は2つの部分からなる。第1項は論理状態の確率を局所自由エネルギーの違う状態へ移すことの代価で、第2項は論理状態のエントロピーを減らすことの代価である。Landauer のもとの主張は、第1項が0（対称な記憶）で第2項が $\ln2$（五分五分を完全に消す）の場合にあたる。以下、3つの前提を1つずつ外す。

偏った記憶。対称な記憶で、中身が1である確率が $p$ の記憶を完全に消すと、式 (4.5.9) の下限は $k_{\mathrm B} T\,h_{\mathrm b}(p)$ である（$h_{\mathrm b}$ は二値エントロピー）。中身が偏っていればいるほど消去は安い。ただし下限に達するには、手順が $p$ を知っていて、それに合わせて作られていなければならない（例題 4.5.3 の (3)）。$p$ に合わせない手順、たとえば五分五分を想定した手順を偏った記憶に当てると、$\langle \Sigma \rangle >0$ の分だけ余計に仕事が要る。

不完全な消去。完全に0にせず、誤り $\varepsilon$ を残してよいなら、五分五分の記憶の消去の下限は $k_{\mathrm B} T\,[\ln2-h_{\mathrm b}(\varepsilon )]$ に下がる。$\varepsilon \to0$ で $k_{\mathrm B} T\ln2$ に戻る。$h_{\mathrm b}(\varepsilon )$ は $\varepsilon \to0$ で $-\varepsilon \ln\varepsilon$ のように0へ近づくので、誤りを1桁減らすごとに必要な仕事の増えは小さくなっていき、完全な消去でも有限の $k_{\mathrm B} T\ln2$ で済む。

非対称な記憶。例題 4.5.1 の、右の部屋が左の $r$ 倍広い記憶を考える。$F_1-F_0=- k_{\mathrm B} T\ln r$ である。五分五分の中身を状態0（狭い方）へ消すと下限は$\frac12(F_0-F_1)+ k_{\mathrm B} T\ln2= k_{\mathrm B} T(\ln2+\frac12\ln r)$ で、状態1（広い方）へ消すと $k_{\mathrm B} T(\ln2-\frac12\ln r)$ である。$r=3$ なら前者は $1.2425\, k_{\mathrm B} T$、後者は $0.1438\, k_{\mathrm B} T$ で、広い方へ消せば $k_{\mathrm B} T\ln2=0.6931\, k_{\mathrm B} T$ をはるかに下回る。$r>4$ では下限が負になり、消去しながら仕事を取り出せる。

最後の場合は Landauer 原理の破れに見えるが、破れではない。熱で書いた式 (4.5.7) は、論理状態のエントロピーでなく、微視的な分布のエントロピーの減りで熱を押さえている。平らな部屋の記憶では、部屋の中の位置のエントロピーまで数えると、五分五分の状態のエントロピーは $\ln2+\frac12\ln\ell_0+\frac12\ln(r\ell_0)$、広い方の部屋に決まった状態は $\ln(r\ell_0)$ で、減りは $\ln2-\frac12\ln r$ である。ポテンシャルが平らなので仕事はそのまま熱になり、熱の下限と仕事の下限は一致する。「1ビットにつき $k_{\mathrm B} T\ln2$」が成り立つのは、論理状態のエントロピーの減りが微視的なエントロピーの減りに等しい、つまり各論理状態の中の自由度が同じ広さを持つ場合に限られる。

素朴な消去で失われるもの

消去の手順としてもっともよく引かれるのは、仕切りを抜いて粒子を箱全体に広げ、それから片側へ押し込む手順である（Szilard の箱の消去）。仕切りを抜く瞬間、記憶の分布 $p_M$ は、そのまま新しい設定（仕切りの無い箱）での分布になるが、新しい設定の平衡分布は部屋の広さに比例する $\pi_M$ である。仕切りを抜くのは仕事0の急な操作なので、第4部第1章の急な操作の式により、そこで $k_{\mathrm B} T\,D(p_M\,\|\,\pi_M)$ がまるごと $\Sigma$ になる。対称な記憶の五分五分では $p_M=\pi_M$ なので失うものは無く、この手順は Landauer の限界 $k_{\mathrm B} T\ln2$ に達する。非対称な記憶や偏った中身では $p_M\neq\pi_M$ で、素朴な手順は下限より $k_{\mathrm B} T\,D(p_M\,\|\,\pi_M)$ だけ多く仕事を使う。最良の手順は、仕切りを抜く前に、仕切りを準静的に動かして部屋の広さの比を $p_M$ に合わせ、$D$ を0にしてから抜く。

論理的な不可逆と熱力学的な不可逆

消去は論理的には不可逆である。消した後の記憶から、消す前の中身を読み取ることはできない。しかし定理 4.5.3 の等号は準静的な消去で成り立ち、そのとき $\langle \Sigma \rangle =0$ で、熱力学的には可逆である。実際、準静的に消去した記憶に、手順を時間について逆回しに当てると、熱浴から $k_{\mathrm B} T\ln2$ の熱を吸って五分五分の記憶に戻る（中身は乱数になる）。したがって Landauer 原理は「論理的に不可逆な操作は熱力学的に不可逆である」という主張ではない。「論理状態のエントロピーを減らす操作は、その分の熱を熱浴へ出さなければならない」という主張で、出た熱は可逆に戻すこともできる（T. Sagawa (2014), J. Stat. Mech. P03025 がこの区別を整理した）。熱力学的に不可逆になるのは、たとえば五分五分でない記憶に五分五分用の手順を当てて $\langle \Sigma \rangle >0$ を作った場合である。