授業で習った形との対応

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第4部 第5章 §4.5.6　★★ 熱力学の授業の「Clausius の不等式を記憶に当てる」「理想気体1分子の等温圧縮で $k_{\mathrm B} T\ln2$」は、この章の一般形で中身を対称・五分五分・大きな熱浴に限った場合

熱力学と統計力学の授業では、Landauer 原理は次の2行で導かれることが多い。1つは Clausius の不等式による導き方で、温度 $T$ の熱浴と熱 $Q$ をやりとりする系のエントロピー変化について

$$\Delta S\ \ge\ \frac{Q}{T}\tag{4.5.17}$$

が成り立つ。1ビットの記憶の消去で記憶のエントロピーが $\Delta S=- k_{\mathrm B}\ln2$ 変わるとすると、記憶が受け取る熱は $Q\le- k_{\mathrm B} T\ln2$、つまり熱浴へ $k_{\mathrm B} T\ln2$ 以上の熱が出る。もう1つは理想気体による導き方で、Szilard の箱の1分子を体積 $V$ から $V/2$ へ等温準静的に押し込む仕事が

$$W=-\int_V^{V/2}\frac{ k_{\mathrm B} T}{V'}\,\mathrm{d} V'= k_{\mathrm B} T\ln2$$

になることを使う。

この章の形と並べると次のようになる。

Clausius の不等式による導き方は、等式 (4.5.6) の後ろの2項を、熱浴が理想的であるとして最初から0とみなしたものにあたる。熱力学のエントロピー $S$ は平衡状態にしか定義されないので、授業の形は「消す前も消した後も記憶は（局所）平衡にある」ことを暗に仮定している。その仮定の下では $S= k_{\mathrm B} H(Y)$ で、$\Delta S\ge Q/T$ は式 (4.5.7) と同じ内容になる。この章の形は、消す前の記憶が平衡でない場合（偏った中身・非対称な部屋）も、熱浴が有限の場合も扱え、不等式の余りがどこへ行ったか（相関と熱浴の $D$、あるいは $\langle \Sigma \rangle$）まで数える。

理想気体による導き方は、対称な記憶・五分五分の中身・素朴な手順の組み合わせで、第3節で見たとおりこのときに限って素朴な手順が下限に達する（$p_M=\pi_M$ なので仕切りを抜いても何も失わない）。授業の導き方が間違っているわけではなく、成り立つ範囲が狭い。授業の形を非対称な記憶にそのまま当てて「$k_{\mathrm B} T\ln2$ より安い消去は第二法則に反する」と結論すると誤りで、第4節のとおり測定の側にコストが移っている。

数値の目安として、$300\,\mathrm K$ では $k_{\mathrm B} T\ln2=2.87\times10^{-21}\,\mathrm J=0.0179\,\mathrm{eV}$ である。現在の論理素子が1回の切り替えに使うエネルギーはこれよりずっと大きく、この限界はまだ工学の制約にはなっていない。限界に近い消去を実験で確かめた例は 第4部第7章 で扱う。