比べる2つの分布：1ビットの記憶の消去の前と後

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第4部 第7章 §4.7.1　★★★ 二重井戸の記憶は、井戸の中が局所平衡なら2状態の分布に粗視化でき、$D$ は連鎖則で2状態の $D$ に等しい。消去の仕事の下限は $k_{\mathrm B} T\,D(p_{\mathrm f}\,\|\,\pi)= k_{\mathrm B} T[\ln2-h_{\mathrm b}(P_{\mathrm s})]$

この部のここまでの章では、熱浴の中で揺れる系に仕事と熱を割り当て（第4部第1章）、ゆらぎの定理（第4部第2章）と、エントロピー生成を経路の $D$ として書く見方（第4部第3章）を通って、測定とフィードバックを含む第二法則（第4部第4章）と消去のコスト（第4部第5章）にたどり着いた。どれも $k_{\mathrm B} T\ln2\approx3\times10^{-21}\,\mathrm{J}$ の大きさの量を扱う主張で、2010年ごろまでは思考実験の中でしか確かめられていなかった。この章は、その後に行われた実験のうち、この巻の背骨である相対エントロピー $D$ の不等式と等式を直接に数値で確かめたものを選んで読む。

選んだ実験は3つの系にわたる。光ピンセットの二重井戸にとらえたコロイド粒子で1ビットを消去し、液体へ出ていく熱が $k_{\mathrm B} T\ln2$ に近づくことを測った実験（Bérut ほか 2012、Jun ほか 2014）、2つの金属の島のあいだを1個の電子が行き来する単電子箱を Szilard エンジンとして動かし、1ビットの情報から $k_{\mathrm B} T\ln2$ に近い仕事を取り出した実験（Koski ほか 2014）、そして回転するコロイド粒子にフィードバックをかけて、なされた仕事より多くの自由エネルギーを与えた実験（Toyabe ほか 2010）である。

比べる2つの分布は、消去の実験では消去の前と後の記憶の分布、フィードバックの実験では測定の直後の「系と測定結果の結合分布」と「それぞれの分布の積」である。後者の $D$ が相互情報量 $I(X;M)$ になる。第1節で記憶を2状態に粗視化してよい理由と、消去の下限が $D$ の値そのものであることを確かめる。第2節では、2状態の主方程式で、有限の時間の消去に $1/\tau$ の余りが必ず付くことを示す。実験のデータを $\tau\to\infty$ へ延ばす解析は、この式にもとづいている。第3節から第5節が3つの実験で、第6節で授業で習う熱力学（Kelvin の原理・理想気体の等温膨張・コンデンサのエネルギー・Arrhenius の式）と並べる。

この章でもエントロピーの対数は自然対数で単位は nat、エントロピー生成 $\Sigma$ は $k_{\mathrm B}$ を単位とする無次元の量とする。$W$ は系がされる仕事、$Q$ は系が受け取る熱で、実験の論文がいう「散逸した熱」は液体や電子の気体へ出ていく熱 $-Q$ にあたる。測定の誤り率を $\varepsilon$ と書く（この章には1電子のエネルギーが出てこないので、この字を誤り率に使う）。定義には $\coloneqq$ を使う。

二重井戸の記憶

位置 $x$ の粒子が、$x=0$ に障壁を持つ左右対称の二重井戸 $U(x)$ の中にいるとする。粒子が左の井戸にいる状態を 0、右にいる状態を 1 と読めば、これは1ビットの記憶である。障壁の高さ $E_{\mathrm b}$ が $k_{\mathrm B} T$ よりずっと高いと、粒子は1つの井戸の中で速く平衡に落ち着き、反対の井戸へは熱揺らぎでまれにしか跳び移らない。井戸の中で落ち着くまでの時間を $\tau_{\mathrm w}$、跳び移りの平均の待ち時間を $\tau_{\mathrm K}$ と書くと、$\tau_{\mathrm w}\ll t\ll\tau_{\mathrm K}$ の時間 $t$ のあいだ、記憶は保たれる。$\tau_{\mathrm K}$ は Arrhenius の式 $\tau_{\mathrm K}\propto\mathrm{e}^{\beta E_{\mathrm b}}$ にしたがって障壁とともに急に長くなる（$\beta=1/ k_{\mathrm B} T$）。実際の実験では、Bérut らのコロイド粒子で障壁 $8\, k_{\mathrm B} T$ のとき $\tau_{\mathrm K}\approx3000\,\mathrm s$、井戸の中の緩和は $0.08\,\mathrm s$ だった（4.7.3 節）。

この時間の分離があると、粒子の位置の分布 $p(x)$ は「どちらの井戸にいるか」の確率 $(p_0,p_1)$ と、それぞれの井戸の中の条件付きの分布 $p(x\,|\,i)$ に分けて書ける。井戸の中が局所平衡にあるとは、$p(x\,|\,i)$ が平衡分布 $\pi(x)=\mathrm{e}^{-\beta U(x)}/Z$ をその井戸に制限して規格化しなおしたもの $\pi(x\,|\,i)$ に等しいことをいう。2つの分布を比べるとき、$D$ の連鎖則（第1部第3章）から

$$D(p\,\|\,\pi)=D\bigl((p_0,p_1)\,\big\|\,(\pi_0,\pi_1)\bigr)+\sum_{i=0,1}p_i\,D\bigl(p(\cdot\,|\,i)\,\big\|\,\pi(\cdot\,|\,i)\bigr)\tag{4.7.1}$$

が成り立つ。$(\pi_0,\pi_1)$ はそれぞれの井戸に入る平衡の確率で、対称な二重井戸では $(1/2,1/2)$ である。井戸の中が局所平衡なら第2項は0で、連続の分布の $D$ は2状態の分布の $D$ に等しい。局所平衡からずれていれば第2項の分だけ $D$ は大きい。この等式が、記憶を2つの数 $(p_0,p_1)$ だけで扱ってよい理由である。

消去の下限は $D$ の値

消去とは、記憶が 0 と 1 のどちらであったかによらず、最後に記憶を 0 にそろえる操作である。初めの記憶は等しい確率 $(1/2,1/2)$ で、平衡分布 $\pi$ に一致しているとする。操作の後に障壁を戻し、井戸を左右対称に戻したとき、粒子が 0 にいる確率を消去の成功率 $P_{\mathrm s}$ と書く。終わりの分布は $p_{\mathrm f}=(P_{\mathrm s},1-P_{\mathrm s})$ で、井戸の形は初めと同じなので $\Delta F_{\mathrm{eq}}=0$ である。平衡から始める操作では、第4部第1章で示した帳尻

$$\langle W \rangle -\Delta F_{\mathrm{eq}}= k_{\mathrm B} T\,D(p_{\mathrm f}\,\|\,\pi_{\mathrm f})+ k_{\mathrm B} T\langle \Sigma \rangle ,\qquad\langle \Sigma \rangle \ge0\tag{4.7.2}$$

が成り立つ（第4部第1章。系は連続の位置でも2状態でも同じ形である。2状態の場合は次の節で導き直す）。したがって消去の仕事には

$$\langle W \rangle \ \ge\ k_{\mathrm B} T\,D\bigl((P_{\mathrm s},1-P_{\mathrm s})\,\big\|\,(\tfrac12,\tfrac12)\bigr)= k_{\mathrm B} T\bigl[\ln2-h_{\mathrm b}(P_{\mathrm s})\bigr]\tag{4.7.3}$$

という下限がある。$h_{\mathrm b}(p)=-p\ln p-(1-p)\ln(1-p)$ は二値エントロピーである。完全な消去 $P_{\mathrm s}=1$ でこれは $k_{\mathrm B} T\ln2$ になり、Landauer の原理の形に戻る。$P_{\mathrm s}=1/2$（何もしない）なら下限は0である。式 (4.7.3) の右辺は、消去によって記憶の分布が平衡 $(1/2,1/2)$ からどれだけ離れたかを $D$ で測った値で、第2部第2章 の言葉では、終わりの記憶が持つ非平衡の自由エネルギーの余り $F[p_{\mathrm f}]-F_{\mathrm{eq}}$ である。

1周の操作で井戸の形が元に戻るので、内部エネルギーの平均は初めと終わりで同じ（どちらの井戸も同じ形）で、第一法則から $\langle Q \rangle =-\langle W \rangle$ である。液体へ出ていく熱の平均 $-\langle Q \rangle$ も同じ下限を持つ。このため、コロイド粒子の実験では仕事でなく熱を測って Landauer の原理を確かめることができる。