当てる D の性質：非負性から出る下限と、有限の時間の余り

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第4部 第7章 §4.7.2　★★★ 2状態の主方程式で $\mathrm{d} F/\mathrm{d} t=\langle \dot W \rangle - k_{\mathrm B} T\dot\Sigma$、$\dot\Sigma\ge0$。ゆっくり動かすと余分な仕事は $B/\tau$ で、$B$ は傾け方で決まり、最良の傾け方では $\pi^2/(4\nu)$ を超えない

2状態の主方程式

前の節の粗視化にしたがって、記憶を状態 0 と 1 の2状態の系として書く。状態 0 のエネルギーを 0、状態 1 のエネルギーを $E(t)$ とし、$E$ を外から動かせるとする（二重井戸を傾けることにあたる）。2状態のあいだの跳び移りの速さは、詳細つり合いを満たすように

$$k_{0\to1}=\nu\,\pi_1(E),\qquad k_{1\to0}=\nu\,\pi_0(E),\qquad \pi_1(E)\coloneqq\frac{\mathrm{e}^{-\beta E}}{1+\mathrm{e}^{-\beta E}},\quad\pi_0=1-\pi_1\tag{4.7.4}$$

と置く。$\nu$ は2つの速さの和で、障壁が低いときに大きく、障壁を上げると0になる（障壁は $\nu$ だけを動かし、平衡分布 $\pi(E)=(\pi_0,\pi_1)$ を変えない）。$k_{0\to1}/k_{1\to0}=\mathrm{e}^{-\beta E}$ が詳細つり合いで、熱浴の温度 $T$ はこの比にだけ入る。状態 1 にいる確率 $p_1$ は

$$\dot p_1=k_{0\to1}(1-p_1)-k_{1\to0}\,p_1=-\nu\,\bigl(p_1-\pi_1(E(t))\bigr)\tag{4.7.5}$$

に従う。$p_1$ は、その時刻の平衡の値 $\pi_1(E(t))$ へ速さ $\nu$ で引き寄せられる。

Sekimoto の定義をこの系に当てると、仕事は外から $E$ を動かしたときに系のエネルギーが変わる分 $\dot W=p_1\dot E$（平均）、熱は跳び移りで系のエネルギーが変わる分$\dot Q=E\,\dot p_1$ である（第4部第1章）。分布 $p=(1-p_1,p_1)$ の自由エネルギーを $F[p]\coloneqq\langle E \rangle _p- k_{\mathrm B} T\,H(p)$、$H(p)=h_{\mathrm b}(p_1)$ と定める。

証明

$F=p_1E+ k_{\mathrm B} T[p_1\ln p_1+(1-p_1)\ln(1-p_1)]$ を微分すると $\dot F=\dot p_1E+p_1\dot E+ k_{\mathrm B} T\,\dot p_1\ln\frac{p_1}{1-p_1}$ である。詳細つり合いから $E= k_{\mathrm B} T\ln(\pi_0/\pi_1)$ なので、第1項と第3項をまとめると $k_{\mathrm B} T\,\dot p_1\ln\frac{p_1\pi_0}{(1-p_1)\pi_1}$ になり、$\dot p_1=\nu(\pi_1-p_1)$ を入れると $- k_{\mathrm B} T\dot\Sigma$ の形になる。$\pi_1-p_1$ と $\ln\frac{\pi_1(1-p_1)}{\pi_0p_1}$ は、$p_1<\pi_1$ のときどちらも正、$p_1>\pi_1$ のときどちらも負なので、積は負にならない。後半は $\ln\pi_i=-\beta E_i+\beta F_{\mathrm{eq}}$ を $D(p\,\|\,\pi)=\sum_ip_i\ln(p_i/\pi_i)$ に入れれば出る。

$\dot\Sigma$ は確率の流れ $\nu(\pi_1-p_1)$ と、その流れを起こしている「力」$\ln\frac{\pi_1(1-p_1)}{\pi_0p_1}$ の積で、第4部第1章の Fokker–Planck 方程式の $\frac{\gamma}{ k_{\mathrm B} T}\int j^2/p$ の2状態版である。消去の下限 (4.7.3) は、この $\dot\Sigma\ge0$ と $D\ge0$ の2つだけから出る。

消去の1周

2状態の系で、消去を次の4段で行う。(i) 障壁を下げて $\nu$ を有限にする。(ii) 時間 $\tau$ をかけて $E$ を $0$ から $E_{\mathrm m}$ まで上げ、粒子を状態 0 へ寄せる。(iii) 障壁を上げて $\nu=0$ にし、分布を凍結する。(iv) $E$ を $0$ に戻す。(iii) の後は跳び移りが無いので、(iv) の仕事は $-p_1(\tau)E_{\mathrm m}$ で、熱は出ない。1周の仕事は

$$\langle W \rangle =\int_0^\tau p_1\dot E\,\mathrm{d} t-p_1(\tau)\,E_{\mathrm m}\tag{4.7.7}$$

で、終わりの成功率は $P_{\mathrm s}=1-p_1(\tau)$ である。初めと終わりの $E$ はどちらも0なので $\Delta F_{\mathrm{eq}}=0$ で、命題 4.7.1 から$\langle W \rangle = k_{\mathrm B} T[\ln2-h_{\mathrm b}(P_{\mathrm s})]+ k_{\mathrm B} T\langle \Sigma \rangle$ になる。限りなくゆっくり (ii) を行うと $p_1(\tau)=\pi_1(E_{\mathrm m})$ で $\langle \Sigma \rangle \to0$ なので、$\beta\langle W \rangle \to\ln2-h_{\mathrm b}(\pi_1(E_{\mathrm m}))$ である。$\beta E_{\mathrm m}=10$ なら $\pi_1=4.5\times10^{-5}$ で、この値は $0.6926$ になる。$E_{\mathrm m}$ を大きくするほど $\ln2$ に近づく。

ゆっくり動かしたときの $1/\tau$ の余り

(ii) を有限の時間 $\tau$ で行うと余りが出る。$\nu\tau\gg1$ のとき、式 (4.7.5) の解は $p_1=\pi_1-\nu^{-1}\dot\pi_1+\mathcal{O}((\nu\tau)^{-2})$ と展開できる（右辺の $p_1-\pi_1$ を1次まで求めた形で、代入すると $\dot p_1=\dot\pi_1+\mathcal{O}(\tau^{-2})$ と矛盾しない）。$\dot\pi_1=\pi_1'(E)\dot E$ を入れると、余分な仕事は

$$\int_0^\tau(p_1-\pi_1)\dot E\,\mathrm{d} t\approx\frac1\nu\int_0^\tau g(E)\,\dot E^2\,\mathrm{d} t,\qquad g(E)\coloneqq-\pi_1'(E)=\beta\,\pi_0\pi_1>0\tag{4.7.8}$$

である。$g(E)\,\dot E^2$ はいつも正なので、余りは必ず正で、$\dot E\propto1/\tau$ から $1/\tau$ に比例する。

証明

一定の速さでは (4.7.8) は $\frac{E_{\mathrm m}}{\nu\tau}\int_0^{E_{\mathrm m}}g\,\mathrm{d} E=\frac{E_{\mathrm m}}{\nu\tau}[\pi_1(0)-\pi_1(E_{\mathrm m})]$ で、$\beta$ を掛けると $B_{\mathrm{lin}}/\tau$ になる。一般の傾け方では Cauchy–Schwarz の不等式 $\bigl(\int_0^\tau\sqrt g\,\dot E\,\mathrm{d} t\bigr)^2\le\tau\int_0^\tau g\dot E^2\,\mathrm{d} t$ から$\int g\dot E^2\,\mathrm{d} t\ge\frac1\tau\bigl(\int_0^{E_{\mathrm m}}\sqrt g\,\mathrm{d} E\bigr)^2$ で、等号は $\sqrt g\,\dot E$ が一定のときに成り立つ。$\sqrt{\beta g}=\beta\sqrt{\pi_0\pi_1}=\frac{\beta}{2\cosh(\beta E/2)}$ を積分すると $2\arctan\tanh(\beta E_{\mathrm m}/4)$ で、$E_{\mathrm m}\to\infty$ で $\pi/2$ に増える。(iv) の仕事 $-p_1(\tau)E_{\mathrm m}$ の $1/\tau$ の補正は $\pi_1'(E_{\mathrm m})E_{\mathrm m}\dot E/\nu$ の大きさで、$\mathrm{e}^{-\beta E_{\mathrm m}}$ を含むので落とした。

2つの $B$ を比べる。消去を確実にするには $\beta E_{\mathrm m}$ を大きくして $\pi_1(E_{\mathrm m})\approx\mathrm{e}^{-\beta E_{\mathrm m}}$ を小さくしたい。一定の速さで傾けると $B_{\mathrm{lin}}\approx\beta E_{\mathrm m}/(2\nu)$ で、確実さと引きかえに余りが $E_{\mathrm m}$ に比例して増える。最良の傾け方は、$\pi_1$ が大きく変わる $E\approx0$ のまわり（$g$ が大きい所）をゆっくり、$\pi_1$ がほとんど0の所を速く通る。こうすると余りは $E_{\mathrm m}$ によらず $\pi^2/(4\nu\tau)$ を超えない。$\int\sqrt g\,\mathrm{d} E$ は、第4部第1章で段に分けた操作の余りを決めた Fisher 情報の長さと同じ量である（2状態の平衡分布 $\pi(E)$ の $E$ についての Fisher 情報が $\beta^2\pi_0\pi_1=\beta g$）。速さの限界との関係は 第4部第6章 で扱う。実験で消去時間 $\tau$ を変えて熱を測り、$A+B/\tau$ に当てはめて $\tau\to\infty$ の値 $A$ を読む解析は、この命題を前提にしている。