出てくるもの2：Hawking 放射

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第12章 §5.12.4　★★★ Schwarzschild の外向きの光的座標 $u$ と地平面の上でなめらかな Kruskal 座標 $U$ は $U=-\frac c\kappa\mathrm{e}^{-\kappa u/c}$ で結ばれ、Rindler の式の $a$ を表面重力 $\kappa$ に替えたものになる。遠方には温度 $\hbar\kappa/(2\pi c k_{\mathrm B})$ の熱放射が届く

Kruskal 座標と指数関数の関係

Schwarzschild の外向きの光的座標 $u=t-r_*/c$ は遠方の観測者の時計で測った量で、遠方の観測者にとっての正の振動数は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Omega u}$ である。一方、地平面の上でなめらかな座標は 第2部第17章の Kruskal 座標で、表面重力$\kappa=c^4/(4GM)=c^2/(2r_{\mathrm s})$（第2部第19章）を使って

$$U=-\frac{c}{\kappa}\,\mathrm{e}^{-\kappa u/c},\qquad V=\frac{c}{\kappa}\,\mathrm{e}^{\kappa v/c}\tag{5.12.29}$$

と書ける。$\mathrm{d} u=-c\,\mathrm{d} U/(\kappa U)$、$UV=-(c/\kappa)^2\mathrm{e}^{r_*/r_{\mathrm s}}$ を式 (5.12.11) に入れると

$$\mathrm{d} s^2=\frac{r_{\mathrm s}}{r}\,\mathrm{e}^{-r/r_{\mathrm s}}\,c^2\,\mathrm{d} U\,\mathrm{d} V\tag{5.12.30}$$

となり、$r=r_{\mathrm s}$（$U=0$）で係数が有限の正の値 $\mathrm{e}^{-1}$ をとる。式 (5.12.29) は Rindler の式$U=-\frac ca\mathrm{e}^{-au/c}$ の加速度 $a$ を表面重力 $\kappa$ に置き換えたものと同じ形をしている。地平面のすぐ外の時空は加速度 $\kappa$ の Rindler 時空に見える（第2部第19章）が、式 (5.12.29) は地平面の近くに限らず、外側全体で厳密に成り立つ。

崩壊でできたブラックホールの状態

星が崩壊する前の時空は平坦に近く、場は過去の遠方の真空にある。Hawking（1975、Communications in Mathematical Physics 43、199）は、この真空を作るモードを過去の遠方から未来の遠方まで追いかけた。内向きの波は星の中心を通って外向きに折り返し、遠方へ出ていく。最後に地平面に捕まる光線（$U=0$）の近くを通る波は、出ていくときに指数関数で引き伸ばされる。入るときの時刻 $v$ と出るときの $U$ の関係はなめらかで、$U=0$ の近くでは1次の関係 $U\propto v-v_0$ で近似できる（$v_0$ は最後に逃げられる光線の入る時刻）。したがって、崩壊から十分時間が経った後、外向きのモードは「Kruskal の $U$ について正の振動数のモードが空」という状態にある。これは5.12.3節の $| 0_{\mathrm M} \rangle$ と同じ条件である。落下する観測者が地平面を通るとき固有時は $U$ になめらかに比例するので、この条件は「落下する観測者は地平面で特別なものを見ない」と言っても同じである。

遠方の観測者は $u$ で正の振動数を測るので、Rindler の計算で $a\to\kappa$ と置き換えればよい。式 (5.12.25) から、遠方に届く外向きの粒子の数は

$$\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t\,\mathrm{d}\Omega}=\frac{1}{2\pi}\,\frac{1}{\mathrm{e}^{2\pi c\Omega/\kappa}-1}\tag{5.12.31}$$

で、温度

$$T_{\mathrm H}=\frac{\hbar\kappa}{2\pi c k_{\mathrm B}}=\frac{\hbar c^3}{8\pi GM k_{\mathrm B}}\tag{5.12.32}$$

の熱放射である。これが Hawking 放射で、第2部第19章で結果だけ引いた $T_{\mathrm H}$ の式がここで出た。地平面の内側（$U>0$）のモードは、Rindler の左の楔のモードにあたる。式 (5.12.28) と同じ対の構造で、外へ出る粒子は地平面の内側の相手と対になっている。外だけを見ると熱的な混合状態に見えるのはこのためで、純粋状態から出発したのに外には熱放射しか出ないという点が、情報の問題と呼ばれる問いになる。この問いは相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第7部第2章で扱う。

2次元の模型と4次元の放射

ここでの計算は時間と動径の2次元に限った。4次元の場を $\phi=r^{-1}\psi_\ell(t,r)\,Y_{\ell m}(\theta,\varphi)$（$Y_{\ell m}$ は球面調和関数）と展開すると、$\psi_\ell$ は2次元の波動方程式にポテンシャルを足した $\bigl(c^{-2}\partial_t^2-\partial_{r_*}^2+V_\ell\bigr)\psi_\ell=0$、$V_\ell=(1-r_{\mathrm s}/r)\bigl[\ell(\ell+1)/r^2+r_{\mathrm s}/r^3\bigr]$ に従う。このポテンシャルの山が外向きの波の一部を地平面へ跳ね返すので、遠方に届くのは式 (5.12.31) に透過率 $\Gamma_\ell(\Omega)$（灰色体因子）を掛けたものになる。地平面の近くで決まる温度 (5.12.32) は変わらず、スペクトルの形だけが黒体からずれる。2次元の模型（$\Gamma=1$）では、遠方に届くエネルギーの流れは5.12.3の (3) と同じ計算で $P_{1+1}=\pi( k_{\mathrm B} T_{\mathrm H})^2/(12\hbar)$ になる。