出てくるもの3：虚時間の周期・エントロピー・蒸発

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第12章 §5.12.5　★★★ 時刻を虚数にした Schwarzschild 計量は、地平面で円錐の尖りを持たないために虚時間の周期が $8\pi GM/c^3$ に決まり、それが $\hbar/( k_{\mathrm B} T_{\mathrm H})$ になる。Euclid の作用から $S_{\mathrm{BH}}$ が出て、放射でブラックホールは蒸発する

虚時間の周期

第5部第1章で、カノニカル分布の重み $\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ は虚数の時刻 $-\mathrm{i}\beta\hbar$ まで進めた時間発展であり、分配関数は虚時間の方向に周期 $\beta\hbar$ を持つ経路の経路積分になることを見た。逆に、場の理論を虚時間で周期 $\beta\hbar$ の時空の上で考えれば、それは温度 $1/( k_{\mathrm B}\beta)$ の熱平衡を記述する。

Schwarzschild 計量の時刻を $t=-\mathrm{i}\tau_{\mathrm E}$ と虚数にすると、$-\mathrm{d} s^2$ は正定値の計量

$$\mathrm{d} s_{\mathrm E}^2=\Bigl(1-\frac{r_{\mathrm s}}{r}\Bigr)c^2\mathrm{d}\tau_{\mathrm E}^2+\frac{\mathrm{d} r^2}{1-r_{\mathrm s}/r}+r^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2)\tag{5.12.33}$$

になる。$r\ge r_{\mathrm s}$ だけを考え、地平面の近くを地平面からの固有の距離 $\varrho$ で書く。$r=r_{\mathrm s}+\varrho^2/(4r_{\mathrm s})$ とおくと$1-r_{\mathrm s}/r\approx\varrho^2/(4r_{\mathrm s}^2)$、$\mathrm{d} r^2/(1-r_{\mathrm s}/r)\approx\mathrm{d}\varrho^2$ で、$(\tau_{\mathrm E},r)$ の部分は

$$\mathrm{d} s_{\mathrm E}^2\approx\varrho^2\Bigl(\frac{c\,\mathrm{d}\tau_{\mathrm E}}{2r_{\mathrm s}}\Bigr)^2+\mathrm{d}\varrho^2=\varrho^2\,\mathrm{d}\vartheta^2+\mathrm{d}\varrho^2,\qquad \vartheta=\frac{c\tau_{\mathrm E}}{2r_{\mathrm s}}=\frac{\kappa\tau_{\mathrm E}}{c}\tag{5.12.34}$$

となる。これは平面の極座標 $(\varrho,\vartheta)$ の計量である。$\vartheta$ の周期がちょうど $2\pi$ なら $\varrho=0$ はなめらかな平面の中心だが、周期が $2\pi$ でないと、$\varrho=0$ は円錐の頂点になり、そこで曲率が $\delta$ 関数のように集中する（図 5.12.2）。地平面がなめらかであることを要求すると、$\vartheta$ の周期は $2\pi$ で、虚時間の周期は

$$\beta\hbar=\frac{2\pi c}{\kappa}=\frac{8\pi GM}{c^3}\quad\Longrightarrow\quad k_{\mathrm B} T=\frac{\hbar\kappa}{2\pi c}=\frac{\hbar c^3}{8\pi GM}\tag{5.12.35}$$

に決まる。これは式 (5.12.32) の $T_{\mathrm H}$ と一致する。Bogoliubov 係数の計算からも虚時間の幾何の計算からも、同じ温度が出た。Rindler 計量 (5.12.9) でも、$\varrho=(c^2/a)\mathrm{e}^{a\xi/c^2}$ とおけば $\mathrm{d} s^2=(a\varrho/c^2)^2c^2\mathrm{d} t_{\mathrm R}^2-\mathrm{d}\varrho^2$ なので、同じ議論で周期 $2\pi c/a$、温度 $T_{\mathrm U}$ が出る。

Euclid の作用から Bekenstein–Hawking エントロピーへ

第5部第1章の対応をそのまま当てると、ブラックホールの分配関数は Euclid 化した時空の上の Einstein–Hilbert 作用の経路積分$Z=\int\mathrm{e}^{-I_{\mathrm E}/\hbar}$ になる。古典解（式 (5.12.33)、周期 $\beta\hbar$）のまわりの鞍点で $\ln Z\approx-I_{\mathrm E}/\hbar$ とする。真空解では $R=0$ なので体積の項は0で、値は境界の項（第2部第15章で結果だけ引いた Gibbons–Hawking の項）だけから決まる。Gibbons と Hawking（1977、Physical Review D 15、2752）はこれを計算し、

$$\frac{I_{\mathrm E}}{\hbar}=\frac{4\pi GM^2}{\hbar c}=\frac{\beta Mc^2}{2},\qquad \beta=\frac{8\pi GM}{\hbar c^3}\tag{5.12.36}$$

を得た。ここで $M$ は $\beta$ の関数 $M=\beta\hbar c^3/(8\pi G)$ で、$\ln Z=-\beta^2\hbar c^5/(16\pi G)$ である。第3部第3章の規則でエネルギーとエントロピーを出すと

$$\langle E \rangle =-\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}=\frac{\beta\hbar c^5}{8\pi G}=Mc^2,\qquad \frac{S_{\mathrm{BH}}}{ k_{\mathrm B}}=\beta\langle E \rangle +\ln Z=\frac{4\pi GM^2}{\hbar c}\tag{5.12.37}$$

となる。エネルギーが静止エネルギー $Mc^2$ になることは、計算の確かめになっている。地平面の面積 $A=4\pi r_{\mathrm s}^2=16\pi G^2M^2/c^4$ で書き直すと

$$S_{\mathrm{BH}}=\frac{ k_{\mathrm B} c^3A}{4G\hbar}= k_{\mathrm B}\frac{A}{4\ell_{\mathrm P}^2},\qquad \ell_{\mathrm P}=\sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}}\tag{5.12.38}$$

で、これが Bekenstein–Hawking エントロピーである。Bekenstein（1973、Physical Review D 7、2333）がエントロピーは面積に比例すべきだと論じ、比例係数の $1/4$ が Hawking の温度 (5.12.32) で決まった。第2部第19章の第一法則 $c^2\delta M=\frac{\kappa c^2}{8\pi G}\delta A$（回転なし）は、$T_{\mathrm H}\delta S_{\mathrm{BH}}=\frac{\hbar\kappa}{2\pi c}\cdot\frac{c^3\delta A}{4G\hbar}=\frac{\kappa c^2}{8\pi G}\delta A$ なので、熱力学の第一法則 $\mathrm{d} E=T\mathrm{d} S$ そのものになる。4法則は比喩でなく、温度とエントロピーを持つ物体の熱力学だったことになる。

負の熱容量と蒸発

$T_{\mathrm H}\propto1/M$ なので、エネルギーを失うとブラックホールは熱くなる。熱容量は

$$C=\frac{\mathrm{d} (Mc^2)}{\mathrm{d} T_{\mathrm H}}=-\frac{8\pi GM^2 k_{\mathrm B}}{\hbar c}=-2S_{\mathrm{BH}}\tag{5.12.39}$$

で負である。周りより熱いブラックホールは放射でエネルギーを失い、さらに熱くなって放射を強める。

4次元の放射の強さを、灰色体因子を1とおき、地平面の面積の黒体として見積もる。Stefan–Boltzmann の法則 $P=\sigma_{\mathrm{SB}}AT^4$（$\sigma_{\mathrm{SB}}=\pi^2 k_{\mathrm B}^4/(60\hbar^3c^2)$）に$A=16\pi G^2M^2/c^4$ と式 (5.12.32) を入れると

$$P=\frac{\hbar c^6}{15360\,\pi G^2M^2},\qquad \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d} t}=-\frac{P}{c^2}\tag{5.12.40}$$

で、$M^2\mathrm{d} M=-\frac{\hbar c^4}{15360\pi G^2}\mathrm{d} t$ を積分すると、質量 $M$ のブラックホールが蒸発しきるまでの時間は

$$t_{\mathrm{ev}}=\frac{5120\,\pi G^2M^3}{\hbar c^4}\tag{5.12.41}$$

になる。$M^3$ に比例するので、重いブラックホールの寿命は宇宙の年齢よりはるかに長く、軽いものの寿命は短い。この見積もりは光子の黒体だけを数えたもので、実際の放射は灰色体因子と、放射される粒子の種類（温度が粒子の静止エネルギーを超えると電子・ニュートリノなども出る）で係数が変わる。係数を正しく数えた計算は Page（1976、Physical Review D 13、198）にある。