出てくるもの (1)：Bekenstein 上限は相対エントロピーの非負性

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第1章 §7.1.3　★★★ Casini の形 $\Delta S\le\Delta K$ は、発散も種の数の問題も持たない Bekenstein 上限の厳密な言い方になる

Casini の上限

式 (7.1.9) に Bisognano–Wichmann の形 (7.1.6) を入れると

$$\Delta S\le\Delta K=\frac{2\pi}{\hbar c}\int_{x>0}x\,\Delta\langle \hat T_{00}(\bm{x}) \rangle \,\mathrm{d}^3x\tag{7.1.12}$$

を得る。$\Delta\langle \hat T_{00} \rangle$ は今の状態と真空のエネルギー密度の差である。物体（箱）が Rindler の楔の端（$x=0$）から $x\le R$ の範囲にあり、そのエネルギー密度が正なら、右辺は $\frac{2\pi}{\hbar c}RE$ 以下になり、Bekenstein の形 (7.1.3) を得る（両辺に $k_{\mathrm B}$ を掛ける）。H. Casini（2008）はこの形を提案し、それが Bekenstein の上限の厳密な述べ方であることを論じた¹1H. Casini (2008), Class. Quantum Grav. 25, 205021.下の脚注へ閉じる。

Bekenstein の元の形 (7.1.3) には、長く指摘されてきた問題が2つあった。1つは、箱の「エントロピー」と「大きさ」の定義が曖昧なこと。もう1つは種の数の問題で、場の種類を $N$ 倍に増やすと、同じエネルギーで $\ln N$ に比例して多くの状態を詰め込めるので、上限が破れるように見えることである。Casini の形 (7.1.12) はどちらも持たない。$\Delta S$ と $\Delta K$ は両方とも真空からの差で定義されているので曖昧さがない。種の数を増やすと真空 $\hat\sigma_V$ 自身のもつれも増え、真空からの差としての $\Delta S$ は増えない。しかも不等式は Klein の不等式という数学の定理なので、証明に重力も一般化第二法則も要らない。

上限が厳しくなるのはいつか

古典の熱力学の系では、上限 (7.1.3) はほとんど満たされている（例題 7.1.1）。上限に近づくのは、エネルギーあたりのエントロピーが大きい系、つまり低温の放射である。半径 $R$ の球に閉じ込めた温度 $T$ の光子気体では、$E=a_{\mathrm r}T^4V$、$S=\frac43a_{\mathrm r}T^3V$（$a_{\mathrm r}=4\sigma_{\mathrm{SB}}/c$、$V=\frac43\pi R^3$）なので

$$\frac{S}{2\pi k_{\mathrm B}ER/(\hbar c)}=\frac{4E/(3T)}{2\pi k_{\mathrm B}ER/(\hbar c)}=\frac{2\hbar c}{3\pi k_{\mathrm B}TR}\tag{7.1.13}$$

である。$T$ を下げると比は大きくなり、$k_{\mathrm B}TR/(\hbar c)<2/(3\pi)$ で1を超える。しかしそのとき熱放射の典型的な波長 $2\pi\hbar c/(2.82k_{\mathrm B}T)$ は箱の大きさ $R$ の約 10 倍になり、箱の中に収まるモードはほとんど無い。$E$ と $S$ の連続の式（黒体放射の式）が成り立たない領域で上限が破れたように見えただけで、箱のモードを正しく数えれば上限は保たれる。Casini の形では、この「箱に収まらない長い波長」の寄与は真空からの差 $\Delta S$ に自動的に入っている。

蒸発の残骸に情報をしまえるか

上限 (7.1.3) は、情報喪失のパラドックス（第7部第2章の 7.2.5 節）の3つの立場のうち「情報は蒸発の最後に残る小さな残骸にしまわれる」という立場にも制約をかける。蒸発が Planck の質量 $m_{\mathrm P}=\sqrt{\hbar c/G}$ の程度で止まり、大きさ $\ell_{\mathrm P}$ の残骸が残るとすると、$E=m_{\mathrm P}c^2$、$R=\ell_{\mathrm P}$ で$m_{\mathrm P}c^2\ell_{\mathrm P}=\hbar c$ なので

$$\frac{S_{\text{残骸}}}{k_{\mathrm B}}\le\frac{2\pi m_{\mathrm P}c^2\ell_{\mathrm P}}{\hbar c}=2\pi\tag{7.1.14}$$

になる。残骸がしまえる情報は高々 $2\pi$ nat（約 9 ビット）で、太陽質量のブラックホールが初めに持っていた $S_{\mathrm{BH}}/k_{\mathrm B}\approx10^{77}$ には遠く及ばない。ただしこの議論は、残骸の「大きさ」を外から見た半径 $R$ で測ってよいことを仮定している。外からは小さく見えても内側に広い空間を持つ残骸を考えると、上限の $R$ の意味が変わり、この議論だけでは残骸の立場を退けられない。