この章のまとめ

(1) $T_{\mathrm H}=\hbar c^3/(8\pi GMk_{\mathrm B})=6.17\times10^{-8}\,\mathrm K$、$S_{\mathrm{BH}}/k_{\mathrm B}=4\pi GM^2/(\hbar c)=1.05\times10^{77}$。箱の体積は $V=\frac43\pi R^3=4.189\times10^{-3}\,\mathrm m^3$ で、$E=a_{\mathrm r}T^4V=7.566\times10^{-16}\times8.1\times10^{9}\times4.189\times10^{-3}=2.567\times10^{-8}\,\mathrm J$、$S=\frac43E/T=1.141\times10^{-10}\,\mathrm{J/K}$、$S/k_{\mathrm B}=8.26\times10^{12}$。

(2) 遠方から落とすと $c^2\delta M=E$ で、$\Delta S_{\mathrm{BH}}/k_{\mathrm B}=E/(k_{\mathrm B}T_{\mathrm H})=2.567\times10^{-8}\times1.174\times10^{30}=3.01\times10^{22}$。外のエントロピーは $8.26\times10^{12}$ 減るが、$S_{\mathrm{BH}}$ はそれより9桁あまり多く増えるので $\Delta S_{\mathrm{gen}}>0$。

(3) 式 (7.1.2) から $\Delta S_{\mathrm{BH}}/k_{\mathrm B}=2\pi ER/(\hbar c)=2\pi\times2.567\times10^{-8}\times0.1/(3.162\times10^{-26})=5.10\times10^{17}$。これは Bekenstein 上限の値そのもので、$S/k_{\mathrm B}=8.26\times10^{12}$ はその $1.62\times10^{-5}$ 倍にすぎない（式 (7.1.13) で $2\hbar c/(3\pi k_{\mathrm B}TR)=1.62\times10^{-5}$）。Casini の形では、箱を楔の端から $R$ 以内に置いたとき $\Delta K\le2\pi ER/(\hbar c)=5.10\times10^{17}$ で、$\Delta S\approx8.26\times10^{12}$ なので$D=\Delta K-\Delta S$ は $\Delta K$ とほぼ同じ $5\times10^{17}$ の桁である。この箱は真空からエネルギーの面では大きく離れているが、エントロピーの面ではほとんど上限を使っていない。

(4) 比 (7.1.13) が1になる温度は $T_*=2\hbar c/(3\pi k_{\mathrm B}R)=4.86\times10^{-3}\,\mathrm K$。このとき熱放射の典型的な波長は$2\pi\hbar c/(2.82k_{\mathrm B}T_*)=1.05\,\mathrm m$ で、箱の半径 0.1 m の 10 倍ある。黒体放射の式は箱が波長よりずっと大きいことを前提にしており、この温度では箱に収まるモードがほとんど無いので、$E$ と $S$ をモードごとに数え直さなければならない。最大エントロピー原理で言えば、エネルギーの平均を固定したときの分布は箱の実際のモードの上で作るもので、存在しないモードにエントロピーを割り当てた連続の式が上限を破って見えただけである。Casini の形 $\Delta S\le\Delta K$ は Klein の不等式なので、モードを正しく数えれば破れない。

(5) 放射の間 $\Delta S_{\mathrm{BH}}/k_{\mathrm B}=-3.01\times10^{22}$、$\Delta S_{\mathrm{rad}}/k_{\mathrm B}=\frac43\times3.01\times10^{22}=4.02\times10^{22}$ で、$\Delta S_{\mathrm{gen}}/k_{\mathrm B}=+1.00\times10^{22}$（式 (7.1.20)）。一般化第二法則は成り立つ。しかし、出てきた放射は温度 $T_{\mathrm H}$ の熱的な放射で、そのエントロピー $4.02\times10^{22}$ は箱の中身の情報（$8.26\times10^{12}$ nat）を担っているかどうかを何も言わない。熱状態はその温度以外の情報を持たないので、半古典の計算のままでは箱の中身の情報は放射に出てこない。外から見て箱の中身の区別が付かなくなる過程は、データ処理不等式の言葉では「区別する力 $D$ が減る」過程で、それ自体は第二法則と矛盾しない。問題は、ブラックホールが蒸発しきった後に、全体の状態を元に戻せる（ユニタリな）情報がどこにも残らないように見えることである。放射が内側ともつれていることと、その矛盾の正確な言い方は第7部第2章で扱う。