授業で習った形との対応

2026年10月15日7分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第7部第1章ブラックホールの熱力学を情報で読む

AI 生成・木下が未勉強

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部第1章 §7.1.6　★★ Clausius の不等式・熱浴との接触・熱容量の正値性という熱力学の3つの形が、真空を熱浴とみた相対エントロピーの式とブラックホールの負の熱容量に対応する

学部の熱力学では、温度 $T$ の熱浴から熱 $Q$ を受け取った系について Clausius の不等式 $\Delta S\ge Q/T$ を習う。系と熱浴を合わせた全体のエントロピーが減らない、というのが第二法則の形である。統計力学では、熱浴と接した系の平衡は自由エネルギー $F=U-TS$ の最小で決まり、平衡が安定であるためには熱容量が正（ $C=\partial U/\partial T>0$ ）でなければならない、と習う。この章の式を、この3つの形と並べる。

	熱力学の授業での形	この章の形
熱浴	温度 $T$ の大きな系	真空 $\hat\sigma_V$ （局所の温度 $\hbar c/(2\pi k_{\mathrm B}x)$ ）、ブラックホール（温度 $T_{\mathrm H}$ ）
自由エネルギーの最小	$F(\hat\rho)-F_{\mathrm{eq}}=k_{\mathrm B}T\,D(\hat\rho\,\\|\,\hat\rho_\beta)\ge0$	$\Delta K-\Delta S=D(\hat\rho_V\,\\|\,\hat\sigma_V)\ge0$ (7.1.8)
第一法則	$\mathrm{d} S=\mathrm{d} U/T$	$\delta S=\delta K$ (7.1.10)、 $\mathrm{d} S_{\mathrm{BH}}=c^2\mathrm{d} M/T_{\mathrm H}$
第二法則	$\Delta S_{\text{系}}+\Delta S_{\text{浴}}\ge0$	$\Delta S_{\mathrm{gen}}=\Delta S_{\mathrm{BH}}+\Delta S_{\text{外}}\ge0$ (7.1.19)
熱容量	$C>0$ （安定）	$C_{\mathrm{BH}}=-2S_{\mathrm{BH}}<0$

第2部第4章（第2部第4章）では、系と熱浴の第二法則を $\Sigma=\Delta H(\rho_S)-\beta Q=I(S;B)+D(\rho_B\,\|\,\rho_B^{\mathrm{can}})\ge0$ と書き、エントロピー生成が「系と熱浴の相関」と「熱浴の平衡からのずれ」の2つの相対エントロピーに分かれることを見た。一般化第二法則の証明でも、ブラックホールを熱浴とみなして同じ構造を使っている。 $\Delta K$ が熱浴に渡したエネルギー $\beta Q$ の役をし、 $D$ の単調性が $\Sigma\ge0$ の役をしている。

違いは熱容量の符号である。Schwarzschild のブラックホールでは $T_{\mathrm H}\propto1/M$ なので、エネルギーを得ると温度が下がる。熱容量は $C_{\mathrm{BH}}=\mathrm{d}(Mc^2)/\mathrm{d} T_{\mathrm H}=-2S_{\mathrm{BH}}$ で負になる（解析力学から様々な理論分野を組み立てる第5部第12章）。熱容量が負の系は、周りの無限に大きな熱浴とは安定に平衡できない。周りより少し熱くなると放射でエネルギーを失ってさらに熱くなり、少し冷たくなると吸収してさらに冷たくなるからである。カノニカル分布（Gibbs の変分原理の最小）が存在しない、と言い換えてもよい。安定に平衡させるには、ブラックホールを放射ごと有限の箱に入れ、全エネルギーを固定する（ミクロカノニカル）必要がある。S. W. Hawking（1976）はこの箱の中のブラックホールを論じた1S. W. Hawking (1976), Phys. Rev. D 13, 191.下の脚注へ。安定になる条件を、次の例題で出す。

例題 7.1.7　箱の中のブラックホールが安定である条件 ★★★

オリジナル体積 $V_{\text{箱}}$ の箱に、質量 $M$ の Schwarzschild ブラックホールと温度 $T$ の放射（エネルギー $E_{\mathrm r}=a_{\mathrm r}V_{\text{箱}}T^4$ 、エントロピー $S_{\mathrm r}=\frac43a_{\mathrm r}^{1/4}V_{\text{箱}}^{1/4}E_{\mathrm r}^{3/4}$ ）を入れ、全エネルギー $Mc^2+E_{\mathrm r}$ を一定に保つ。

全エントロピー $S_{\mathrm{BH}}(M)+S_{\mathrm r}(E_{\mathrm r})$ が $M$ について停留する条件が $T=T_{\mathrm H}$ であることを示せ。
停留点が極大（安定）である条件が $E_{\mathrm r}<Mc^2/4$ であることを示せ。
1. を熱容量の言葉で言い直せ。

解答

$E_{\mathrm r}=E_{\text{全}}-Mc^2$ なので $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} M}(S_{\mathrm{BH}}+S_{\mathrm r})=\frac{\mathrm{d} S_{\mathrm{BH}}}{\mathrm{d} M}-c^2\frac{\mathrm{d} S_{\mathrm r}}{\mathrm{d} E_{\mathrm r}}=\frac{c^2}{T_{\mathrm H}}-\frac{c^2}{T}$ （第一法則と $\mathrm{d} S_{\mathrm r}/\mathrm{d} E_{\mathrm r}=1/T$ ）。0 になるのは $T=T_{\mathrm H}$ 。
2階微分は $\frac{\mathrm{d}^2S_{\mathrm{BH}}}{\mathrm{d} M^2}+c^4\frac{\mathrm{d}^2S_{\mathrm r}}{\mathrm{d} E_{\mathrm r}^2}$ 。 $S_{\mathrm{BH}}=4\pi Gk_{\mathrm B}M^2/(\hbar c)$ から第1項は $8\pi Gk_{\mathrm B}/(\hbar c)>0$ 。第2項は $\frac{\mathrm{d}^2S_{\mathrm r}}{\mathrm{d} E_{\mathrm r}^2}=-\frac14a_{\mathrm r}^{1/4}V_{\text{箱}}^{1/4}E_{\mathrm r}^{-5/4}=-\frac{1}{4E_{\mathrm r}T}$ （ $a_{\mathrm r}V_{\text{箱}}=E_{\mathrm r}/T^4$ を使った）。極大の条件は $\frac{c^4}{4E_{\mathrm r}T_{\mathrm H}}>\frac{8\pi Gk_{\mathrm B}}{\hbar c}$ 。 $k_{\mathrm B}T_{\mathrm H}=\hbar c^3/(8\pi GM)$ を入れると $E_{\mathrm r}<\frac{c^4\hbar c}{4\cdot8\pi Gk_{\mathrm B}T_{\mathrm H}}=\frac{Mc^2}{4}$ 。
2つの系が全エネルギーを分け合って平衡するとき、安定の条件は $\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}>0$ の形になる（1. の2階微分は $-\frac{1}{T^2}(\frac1{C_1}+\frac1{C_2})$ に比例する）。ブラックホールの $C_{\mathrm{BH}}<0$ を、放射の小さな正の熱容量 $C_{\mathrm r}=4E_{\mathrm r}/T$ が上回ればよい。 $C_{\mathrm r}<\lvert C_{\mathrm{BH}}\rvert$ のとき $\frac1{C_{\mathrm r}}>\frac{1}{\lvert C_{\mathrm{BH}}\rvert }$ となり、これが $E_{\mathrm r}<Mc^2/4$ と同じ条件である。箱が小さく、放射の熱容量が小さいほど安定になる。

1　S. W. Hawking (1976), Phys. Rev. D 13, 191.

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。連絡先：support@tecktom.com

この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下智貴

← AI生成教科書『虎の巻』の記事一覧へ