出てくるもの（1）：コヒーレント状態

光学と量子エレクトロニクス　第31章 §31.3　★★★ $| \alpha \rangle =\hat D(\alpha)| 0 \rangle$ は $\hat a$ の固有状態で、光子数は平均 $\lvert \alpha\rvert ^2$ の Poisson 分布、場の期待値は古典の振動そのもの、揺らぎは真空と同じ。位相の揺らぎは $1/(2\lvert \alpha\rvert )$

定義と固有値の式

古典の電流で真空を揺すった状態

$$| \alpha \rangle =\hat D(\alpha)| 0 \rangle\tag{31.13}$$

をコヒーレント状態と呼ぶ。R. J. Glauber (1963), Phys. Rev. 131, 2766 が、古典の電流が放射する光の量子状態としてこの状態を調べ、光の干渉性（コヒーレンス）の量子論の基礎にした。式 (31.8) から $\hat a\hat D(\alpha)=\hat D(\alpha)(\hat a+\alpha)$ なので

$$\hat a| \alpha \rangle =\hat D(\alpha)(\hat a+\alpha)| 0 \rangle =\alpha| \alpha \rangle\tag{31.14}$$

で、コヒーレント状態は消滅演算子の固有状態である。$\hat a$ はエルミートでないので、固有値 $\alpha$ は複素数でよく、固有状態どうしは直交しない（下で見る）。

光子数の状態で展開する。式 (31.14) を $| \alpha \rangle =\sum_nc_n| n \rangle$ に当てると $c_{n+1}\sqrt{n+1}=\alpha c_n$ で、$c_n=c_0\alpha^n/\sqrt{n!}$。規格化から $\lvert c_0\rvert ^2\mathrm{e}^{\lvert \alpha\rvert ^2}=1$ なので

$$| \alpha \rangle =\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/2}\sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}| n \rangle ,\qquad P(n)=\lvert \langle n | \alpha \rangle \rvert ^2=\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2}\frac{\lvert \alpha\rvert ^{2n}}{n!}\tag{31.15}$$

を得る（$c_0$ の位相は $\hat D(\alpha)| 0 \rangle$ の定義で実数に決まる）。光子数の分布は平均 $\lvert \alpha\rvert ^2$ の Poisson 分布で、

$$\langle \hat n \rangle =\lvert \alpha\rvert ^2,\qquad(\Delta n)^2=\lvert \alpha\rvert ^2,\qquad\frac{\Delta n}{\langle \hat n \rangle }=\frac{1}{\lvert \alpha\rvert }\tag{31.16}$$

である。Poisson 分布は、たがいに独立な出来事を数えた回数の分布である。古典の電流が光子を1個ずつたがいに相関なく放つと読むことができる。

場の期待値と揺らぎ

時間発展は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}| \alpha \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t/2}| \alpha\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} \rangle$ で（各項 $| n \rangle$ に $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} n\omega t}$ が掛かる）、コヒーレント状態はコヒーレント状態のまま、$\alpha$ が位相平面の上を角速度 $\omega$ で回る。電場の期待値は式 (31.4) と $\langle \hat X_1 \rangle =\operatorname{Re}\alpha$、$\langle \hat X_2 \rangle =\operatorname{Im}\alpha$ から

$$\langle \hat{\bm{E}}(t) \rangle =2E_{\mathrm{ph}}\lvert \alpha\rvert \,\bm{e}\sin(\omega t-\arg\alpha)\tag{31.17}$$

で、振幅 $2E_{\mathrm{ph}}\lvert \alpha\rvert =2E_{\mathrm{ph}}\sqrt{\langle \hat n \rangle }$ の古典の振動そのものである（例題 31.1 の $E_0=2E_{\mathrm{ph}}\sqrt n$）。揺らぎは、$\hat D(\alpha)$ が直交位相を数だけずらすので真空と同じで、どの向きにも $(\Delta X_\theta)^2=\frac14$、場では $\Delta E=E_{\mathrm{ph}}$ である。コヒーレント状態は、真空の揺らぎの円を $(\operatorname{Re}\alpha,\operatorname{Im}\alpha)$ へ平行移動したものである（図 31.1）。

光子数と位相の揺らぎは、図から読める。中心から距離 $\lvert \alpha\rvert$ にある半径 $\frac12$ の円を見込む角度の半分が位相の揺らぎで、

$$\Delta\phi\approx\frac{1/2}{\lvert \alpha\rvert }=\frac{1}{2\lvert \alpha\rvert },\qquad\Delta n\,\Delta\phi\approx\frac12\tag{31.18}$$

である（$\lvert \alpha\rvert \gg1$）。動径の向きの揺らぎ $\frac12$ は振幅 $\lvert \alpha\rvert$ の揺らぎで、$n=\lvert \alpha\rvert ^2$ の揺らぎに直すと $\Delta n\approx2\lvert \alpha\rvert \cdot\frac12=\lvert \alpha\rvert$ となり、式 (31.16) と一致する。この位相の揺らぎは、相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第8章（相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第8章）の量子 Fisher 情報からも出る。位相の推移 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi\hat n}$ の生成子は $\hat n$ で、$J_{\mathrm Q}=4(\Delta n)^2=4\lvert \alpha\rvert ^2$ なので、1回の測定の誤差の下限は $1/\sqrt{J_{\mathrm Q}}=1/(2\lvert \alpha\rvert )$ である。

直交しないことと完全性

2つのコヒーレント状態の内積は式 (31.15) から

$$\langle \beta | \alpha \rangle =\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/2-\lvert \beta\rvert ^2/2+\beta^*\alpha},\qquad\lvert \langle \beta | \alpha \rangle \rvert ^2=\mathrm{e}^{-\lvert \alpha-\beta\rvert ^2}\tag{31.19}$$

で、$0$ にならない。位相平面で2つの円が重なっている間は、2つの状態を確実に見分けることはできない。円の中心が直径 $1$ より十分離れると、重なりは指数関数で小さくなる。直交しないのに、コヒーレント状態の全体は

$$\frac1\pi\int| \alpha \rangle \langle \alpha |\,\mathrm{d}^2\alpha=\hat 1\qquad(\mathrm{d}^2\alpha=\mathrm{d}(\operatorname{Re}\alpha)\,\mathrm{d}(\operatorname{Im}\alpha))\tag{31.20}$$

を満たす（$| n \rangle \langle m |$ の係数の角度の積分で $n\ne m$ が消え、動径の積分が $\pi\,n!$ になる）。基底としては余分を含む（過剰完全）が、任意の状態をコヒーレント状態で展開することができる。第32章（第32章）で光の状態を古典の分布と比べるときにこの式を使う。