授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第31章 §31.6　★★ 量子力学の調和振動子の「形を変えずに振動する Gauss 型の波束」がコヒーレント状態で、幅の合わない波束が周期 $\pi/\omega$ で呼吸するのがスクイーズド状態。量子エレクトロニクスのショット雑音 $2eIB$ はコヒーレント状態の Poisson 分布

調和振動子の波束

量子力学の授業では、調和振動子 $\hat H=\hat p^2/(2m)+\frac12m\omega^2\hat x^2$ の基底状態の波動関数を $\psi_0(x)=(m\omega/\pi\hbar)^{1/4}\mathrm{e}^{-m\omega x^2/(2\hbar)}$ と習い、$\Delta x\,\Delta p=\hbar/2$ の最小不確定の状態であることを確かめる。さらに、基底状態を $x_{\mathrm c}$ だけずらした波束は形を変えずに古典の軌道のとおり振動することを習う（E. Schrödinger (1926), Naturwissenschaften 14, 664 が示した、量子力学から古典力学へ移る例）。その波動関数は

$$\psi_\alpha(x,t)\propto\exp\Bigl[-\frac{m\omega}{2\hbar}\bigl(x-x_{\mathrm c}(t)\bigr)^2+\frac{\mathrm{i} p_{\mathrm c}(t)x}{\hbar}\Bigr],\qquad x_{\mathrm c}=\sqrt{\frac{2\hbar}{m\omega}}\operatorname{Re}\alpha(t),\quad p_{\mathrm c}=\sqrt{2\hbar m\omega}\operatorname{Im}\alpha(t)$$

で、$\alpha(t)=\alpha\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ である。これがこの章のコヒーレント状態で、$\hat X_1=\sqrt{m\omega/(2\hbar)}\,\hat x$、$\hat X_2=\hat p/\sqrt{2\hbar m\omega}$ と読み替えると $\Delta x\,\Delta p=\hbar/2$ は $\Delta X_1\Delta X_2=\frac14$ になる。授業では「古典に一番近い量子状態」として出てくる波束が、光の巻ではレーザー光の量子状態になる。光の振動子の「位置」は電場の一方の直交位相で、波束の中心の振動は電場の古典の振動である。

基底状態と違う幅 $\Delta x=\mathrm{e}^{-r}\sqrt{\hbar/(2m\omega)}$ の Gauss 型の波束から始めると、波束は形を保たない。$\hat x(t)=\hat x\cos\omega t+\hat p\sin\omega t/(m\omega)$ から

$$(\Delta x)^2(t)=\frac{\hbar}{2m\omega}\bigl(\mathrm{e}^{-2r}\cos^2\omega t+\mathrm{e}^{2r}\sin^2\omega t\bigr)\tag{31.29}$$

で、幅は周期 $\pi/\omega$（振動の周期の半分）で縮んだり広がったりする。これがスクイーズド状態で、位置の揺らぎと運動量の揺らぎが $1/4$ 周期ごとに入れ替わる。第4章（第4章）で、2乗の屈折率の分布を持つ媒質の中で、基本モードに合わない幅のガウスビームの半径が、近軸の光線の振動の周期の半分で振動することを見た。近軸の波動方程式が Schrödinger 方程式と同じ形なので、それはこの式と同じものである。

ショット雑音

量子エレクトロニクスの授業では、光検出器の光電流 $I$ に乗る雑音を Schottky の式

$$\langle (\delta I)^2 \rangle =2eIB\tag{31.30}$$

で習う（$B$ は測定の帯域）。導き方は、光電子が時間 $\tau$ の間にたがいに独立に $N=I\tau/e$ 個出るとして Poisson 分布の $(\Delta N)^2=N$ を使い、$(\delta I)^2=e^2(\Delta N)^2/\tau^2=eI/\tau$ と書いて、時間 $\tau$ の平均が帯域 $B=1/(2\tau)$ に当たることを使うものである。この章の言葉では、量子効率 $1$ の検出器に入るコヒーレント状態の光子数が Poisson 分布 (31.15) に従うことが、この式の前提「光電子がたがいに独立に出る」の中身である。ショット雑音は光検出器の性質でなく、測る光の状態の性質である。振幅スクイーズした光を入れると、光電流の雑音は式 (31.30) より小さくなる。