何を近似したか・何の実験の量で確かめるか

光学と量子エレクトロニクス　第31章 §31.5　★★ ポンプを古典の振幅に置いたこと・1つのモードだけを取り出したこと・強い局部発振光で測ったこと。損失は真空を混ぜるビームスプリッタで、測れるスクイーズの上限は $1-\eta$。確かめる量はホモダイン検出の雑音とショット雑音の比

置いた近似

1つ目は、スクイーズを作るポンプ光を古典の振幅 $\kappa$ に置いたことである（パラメトリック近似）。ポンプ光も本当は量子化したモードで、スクイーズした光子を2個作るたびにポンプの光子が1個減り、ポンプ自身の揺らぎも乗る。ポンプの光子数 $N_{\mathrm p}$ がスクイーズした光の光子数より十分多ければ、この減りと揺らぎは相対的に $1/\sqrt{N_{\mathrm p}}$ の桁で小さい。第19章で原子を駆動するレーザー光を古典に置いたのと同じ型の近似で、強い場の量子揺らぎを捨てる極限である。

2つ目は、1つのモードだけを取り出したことである。実際のスクイーズド光は、共振器の中の光パラメトリック発振器（第17章）がしきい値の下で出す連続の光で、多くの周波数のモードを持つ。ポンプの周波数の半分 $\omega$ から上下に $\Omega$ だけ離れた2つのモード $\omega\pm\Omega$ が、式 (31.25) の形の対になってスクイーズされ、測定では周波数 $\Omega$ の雑音のスペクトルとして現れる。この章の1つのモードの式は、$\Omega$ ごとの対を1つの直交位相の組として読み替えたもので、スクイーズの強さ $r$ は $\Omega$ に依る（共振器の線幅より高い $\Omega$ では弱い）。

3つ目は、レーザー光をコヒーレント状態とみなしたことである。しきい値より上のレーザーの位相は、第22章（第22章）の Schawlow–Townes の線幅で、ゆっくり拡散する。位相の分からないコヒーレント状態を平均すると、光子数の状態の Poisson 分布の混合になり、$\langle \hat a \rangle =0$ になる。K. Mølmer (1997), Phys. Rev. A 55, 3195 は、この観点からレーザー光をコヒーレント状態とみなすことは便利な約束にすぎないと論じた。干渉計とホモダイン検出では、信号の光と基準の光を同じレーザーから分けるので、共通の位相のずれは差に現れず、どちらもコヒーレント状態とみなした計算と同じ結果になる。

損失は真空を混ぜる

スクイーズした光が途中で吸収・散乱され、透過率 $\eta$ で届くとする。損失は、透過率 $\eta$ のビームスプリッタで、使っていないもう一方の入口から真空 $\hat v$ が混ざることと同じで、出口の演算子は $\hat a'=\sqrt\eta\,\hat a+\sqrt{1-\eta}\,\hat v$ である。$\hat a$ と $\hat v$ の揺らぎは独立なので、出口の直交位相の分散は

$$(\Delta X'_\theta)^2=\eta(\Delta X_\theta)^2+(1-\eta)\frac14,\qquad \frac{(\Delta X'_\theta)^2}{1/4}=\eta\,\mathrm{e}^{-2r}+1-\eta\ \ge\ 1-\eta\tag{31.27}$$

になる。$r$ をいくら大きくしても、測れるスクイーズは $1-\eta$ で頭打ちになる。光子数の分布で言えば、スクイーズド真空の光子は対で入っていて、損失は対の片方を抜き取って相関を壊す。光検出器の量子効率もここに入る。スクイーズの実験の数字がいつも効率の数字と一緒に報告されるのは、このためである。

ホモダイン検出

直交位相 $\hat X_\theta$ は、平衡ホモダイン検出で測る。測りたい光 $\hat a$ と、同じレーザーから分けた強い局部発振光（コヒーレント状態 $| \beta \rangle$、$\beta=\lvert \beta\rvert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$）を 50:50 のビームスプリッタで重ね、2つの出口の光検出器の光電流の差をとる。出口の光子数の差は $\hat a^\dagger\hat b+\hat b^\dagger\hat a$ で（総合問題 (5) と同じ計算）、局部発振光の演算子 $\hat b$ を数 $\beta$ に置くと

$$\hat n_{\mathrm c}-\hat n_{\mathrm d}\approx\beta^*\hat a+\beta\hat a^\dagger=2\lvert \beta\rvert \,\hat X_\theta\tag{31.28}$$

になる。局部発振光の位相 $\theta$ を回せば、測る直交位相の向きを選べる。局部発振光自身の強度の揺らぎは、差をとると2つの出口で打ち消し合う（H. P. Yuen, V. W. S. Chan (1983), Opt. Lett. 8, 177）。信号の光の入口を塞ぐと $\hat a$ は真空で、差の光電流の雑音は真空の分散 $\frac14$ を測る。これがショット雑音の水準で、スクイーズの dB はこの水準との比である。局部発振光の演算子を数に置いたのは近似で、置かなかった場合の差の分散は $4\lvert \beta\rvert ^2(\Delta X_\theta)^2+\langle \hat a^\dagger\hat a \rangle$ である（総合問題 (5) で確かめる）。

図 31.3　$15\,\mathrm{dB}$ のスクイーズド真空をホモダイン検出で測ったときの雑音の、局部発振光の位相への依存。損失が無いとき（点線）と全体の効率 $\eta=0.9$ のとき（実線）。縮めた向きの谷は数度の位相のずれで浅くなり、$\pm10^\circ$ でショット雑音の水準に戻る。

何の実験の量で確かめるか

光子数の分布が Poisson 分布であることは、レーザー光の光子を数える実験で確かめられた（F. T. Arecchi (1965), Phys. Rev. Lett. 15, 912 は、レーザー光と擬似熱光の光子数の分布を比べた）。これは強度の揺らぎの話で、位相の情報を含まない。直交位相の揺らぎは、ホモダイン検出の差の光電流の雑音のスペクトルを、信号の入口を塞いだときのショット雑音と比べて測る。スクイーズの最初の観測は、R. E. Slusher, L. W. Hollberg, B. Yurke, J. C. Mertz, J. F. Valley (1985), Phys. Rev. Lett. 55, 2409 の共振器の中の4光波混合による。光パラメトリック発振器をしきい値の下で使う方法は L.-A. Wu, H. J. Kimble, J. L. Hall, H. Wu (1986), Phys. Rev. Lett. 57, 2520 が始め、いまの標準の光源になっている。H. Vahlbruch, M. Mehmet, K. Danzmann, R. Schnabel (2016), Phys. Rev. Lett. 117, 110801 は、ショット雑音より $15\,\mathrm{dB}$ 低い雑音を測った。式 (31.27) から、これには光源から検出器までの全体の効率が $0.97$ 以上要る。