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この章のまとめ

2026年10月15日14分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第31章 コヒーレント状態とスクイーズド状態

AI 生成・木下が未勉強

光学と量子エレクトロニクス　第31章 §31.7　★★★ コヒーレント状態は真空の円の平行移動、スクイーズド状態は円を面積を保って押しつぶした楕円。総合問題は干渉計の空いた入口にスクイーズド真空を入れて位相の誤差を e−r/N\mathrm{e}^{-r}/\sqrt N に下げ、損失と反スクイーズの代償まで数える

要点

  • 1つのモードの場は E^=2Ephe(X^1sin⁡ωt−X^2cos⁡ωt)\hat{\bm{E}}=2E_{\mathrm{ph}}\bm{e}(\hat X_1\sin\omega t-\hat X_2\cos\omega t)、Eph=ℏω/(2ε0V)E_{\mathrm{ph}}=\sqrt{\hbar\omega/(2\varepsilon_0V)}。[X^1,X^2]=i/2[\hat X_1,\hat X_2]=\mathrm{i}/2 から ΔX1ΔX2≥14\Delta X_1\Delta X_2\ge\frac14、真空はどの向きにも分散 14\frac14（式 (31.3)・(31.5)）。
  • 外場が a^\hat a の1次で結合すると変位 D^(α)\hat D(\alpha)、2次で結合するとスクイーズ S^(ζ)\hat S(\zeta)。どちらも直交位相の面積を保つ線形の変換（式 (31.8)・(31.12)）。
  • コヒーレント状態 ∣α⟩| \alpha \rangle：a^∣α⟩=α∣α⟩\hat a| \alpha \rangle =\alpha| \alpha \rangle、光子数は Poisson（Δn=∣α∣\Delta n=\lvert \alpha\rvert）、位相の揺らぎ 1/(2∣α∣)1/(2\lvert \alpha\rvert )、∣⟨β∣α⟩∣2=e−∣α−β∣2\lvert \langle \beta | \alpha \rangle \rvert ^2=\mathrm{e}^{-\lvert \alpha-\beta\rvert ^2}（式 (31.15)〜(31.19)）。
  • スクイーズド真空：(ΔXθ)2=e−2r/4(\Delta X_\theta)^2=\mathrm{e}^{-2r}/4、光子は偶数個、⟨n^⟩=sinh⁡2r\langle \hat n \rangle =\sinh^2r、(Δn)2=2sinh⁡2rcosh⁡2r(\Delta n)^2=2\sinh^2r\cosh^2r。2モードでは片方が熱分布（式 (31.21)〜(31.26)）。
  • 損失 η\eta は真空を混ぜ、測れるスクイーズは 1−η1-\eta で頭打ち（式 (31.27)）。直交位相はホモダイン検出で測る。

この章では、1つのモードの状態を、2つの直交位相への揺らぎの配り方で区別した。古典の電流が作るコヒーレント状態は真空の揺らぎをそのまま運び、光子数は Poisson 分布になる。これが第19章から第29章までレーザー光を古典の場として扱ってよかった根拠である。2倍の周波数のポンプが作るスクイーズド状態は、一方の向きの揺らぎを真空より小さくする代わりに、光子数の揺らぎを大きくする。どちらの状態も Gauss 型の揺らぎの広がりで描け、時間発展と変換は古典の線形の正準変換と同じ形をしている。光子数の揺らぎを Poisson より小さくした光や、Gauss 型で描けない光（光子1個の状態）は、第32章（第32章）の光子の相関 g(2)g^{(2)} で区別する。2モードのスクイーズド真空の光子の対は、第33章（第33章）のもつれた光子対の源になる。

総合問題　スクイーズド光で干渉計の位相の誤差を下げる ★★★

オリジナルMach–Zehnder 干渉計の2つの入口のモードを a^\hat a、b^\hat b とする。1枚目のビームスプリッタで腕のモード c^=(a^+b^)/2\hat c=(\hat a+\hat b)/\sqrt2、d^=(a^−b^)/2\hat d=(\hat a-\hat b)/\sqrt2 を作り、腕 c^\hat c に位相 eiφ/2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi/2}、腕 d^\hat d に e−iφ/2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi/2} を付け、2枚目で e^=(c^+d^)/2\hat e=(\hat c+\hat d)/\sqrt2、f^=(c^−d^)/2\hat f=(\hat c-\hat d)/\sqrt2 に重ねる。入口 a^\hat a には強いコヒーレント状態 ∣α⟩| \alpha \rangle（α>0\alpha>0 は実数、N=α2N=\alpha^2）を入れる。出口の光子数の差 N^=e^†e^−f^†f^\hat N=\hat e^\dagger\hat e-\hat f^\dagger\hat f を測って φ\varphi を推定する。

  1. (1) N^=(a^†a^−b^†b^)cos⁡φ+isin⁡φ (a^†b^−b^†a^)\hat N=(\hat a^\dagger\hat a-\hat b^\dagger\hat b)\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi\,(\hat a^\dagger\hat b-\hat b^\dagger\hat a) を示し、入口 b^\hat b が真空のとき ⟨N^⟩=Ncos⁡φ\langle \hat N \rangle =N\cos\varphi を示せ。（使う道具：31.1節・第9章 の干渉計）
  2. (2) a^\hat a を数 α\alpha に置き、b^†b^\hat b^\dagger\hat b の項を捨てると N^≈Ncos⁡φ−2αsin⁡φ X^2(b)\hat N\approx N\cos\varphi-2\alpha\sin\varphi\,\hat X_2^{(b)} になることを示せ。φ=π/2\varphi=\pi/2 での位相の誤差 Δφ=ΔN/∣d⟨N^⟩/dφ∣\Delta\varphi=\Delta N/\lvert \mathrm{d}\langle \hat N \rangle /\mathrm{d}\varphi\rvert を求め、入口 b^\hat b が真空なら 1/N1/\sqrt N になることを示せ。これが量子 Fisher 情報の下限と一致することも確かめよ。（使う道具：31.3節・相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第8章）
  3. (3) 入口 b^\hat b に X^2\hat X_2 を縮めたスクイーズド真空（強さ rr）を入れると Δφ≈e−r/N\Delta\varphi\approx\mathrm{e}^{-r}/\sqrt N になることを示せ。(2) で捨てた項を残した厳密な分散は Ne−2r+sinh⁡2rN\mathrm{e}^{-2r}+\sinh^2r である。NN を固定したとき誤差を最小にする rr と、そのときの Δφ\Delta\varphi の NN への依存を求めよ。（使う道具：31.4節）
  4. (4) 波長 1064 nm1064\,\mathrm{nm}・出力 1 W1\,\mathrm W の光を 10 ms10\,\mathrm{ms} 使う。標準量子限界の Δφ\Delta\varphi と、それに当たる腕の長さの差 ΔL=λΔφ/(4π)\Delta L=\lambda\Delta\varphi/(4\pi)（Michelson 型で光が腕を往復する場合）を求めよ。光源で 15 dB15\,\mathrm{dB} のスクイーズド真空を作り、全体の効率 η=0.9\eta=0.9 で入れると、ΔL\Delta L はいくらになるか。同じ ΔL\Delta L をスクイーズなしで得るのに要る出力と、腕の長さ 4 km4\,\mathrm{km} のときのひずみ ΔL/L\Delta L/L を求めよ。（使う道具：31.5節・解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第18章）
  5. (5) 2つの腕の光子数の差 c^†c^−d^†d^\hat c^\dagger\hat c-\hat d^\dagger\hat d は鏡に働く放射圧の差を決める。これが a^†b^+b^†a^≈2αX^1(b)\hat a^\dagger\hat b+\hat b^\dagger\hat a\approx2\alpha\hat X_1^{(b)} であることを示し、(4) のスクイーズを入れると放射圧の差の揺らぎが真空のときの何倍になるかを求めよ。重力波の検出器がこの問題にどう対処しているかを述べよ。（使う道具：31.2節・31.4節・第17章）
解答

(1) e^=(c^eiφ/2+d^e−iφ/2)/2\hat e=(\hat c\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi/2}+\hat d\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi/2})/\sqrt2 に c^\hat c、d^\hat d を入れると e^=a^cos⁡(φ/2)+ib^sin⁡(φ/2)\hat e=\hat a\cos(\varphi/2)+\mathrm{i}\hat b\sin(\varphi/2)、同じく f^=ia^sin⁡(φ/2)+b^cos⁡(φ/2)\hat f=\mathrm{i}\hat a\sin(\varphi/2)+\hat b\cos(\varphi/2) である。e^†e^=a^†a^cos⁡2φ2+b^†b^sin⁡2φ2+isin⁡φ2cos⁡φ2(a^†b^−b^†a^)\hat e^\dagger\hat e=\hat a^\dagger\hat a\cos^2\frac\varphi2+\hat b^\dagger\hat b\sin^2\frac\varphi2+\mathrm{i}\sin\frac\varphi2\cos\frac\varphi2(\hat a^\dagger\hat b-\hat b^\dagger\hat a)、f^†f^\hat f^\dagger\hat f は cos⁡\cos と sin⁡\sin を入れ替えて交差項の符号を変えたものなので、差は(a^†a^−b^†b^)cos⁡φ+isin⁡φ(a^†b^−b^†a^)(\hat a^\dagger\hat a-\hat b^\dagger\hat b)\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi(\hat a^\dagger\hat b-\hat b^\dagger\hat a) になる。入口 b^\hat b が真空なら ⟨b^†b^⟩=0\langle \hat b^\dagger\hat b \rangle =0、⟨b^⟩=0\langle \hat b \rangle =0 で交差項の期待値も 00 なので、⟨N^⟩=∣α∣2cos⁡φ=Ncos⁡φ\langle \hat N \rangle =\lvert \alpha\rvert ^2\cos\varphi=N\cos\varphi。第9章の干渉縞の式を、光子数の差の期待値として書いたものである。

(2) a^→α\hat a\to\alpha とすると交差項は iαsin⁡φ(b^−b^†)=iαsin⁡φ⋅2iX^2(b)=−2αsin⁡φ X^2(b)\mathrm{i}\alpha\sin\varphi(\hat b-\hat b^\dagger)=\mathrm{i}\alpha\sin\varphi\cdot2\mathrm{i}\hat X_2^{(b)}=-2\alpha\sin\varphi\,\hat X_2^{(b)} で、b^†b^\hat b^\dagger\hat b を捨てると N^≈Ncos⁡φ−2αsin⁡φ X^2(b)\hat N\approx N\cos\varphi-2\alpha\sin\varphi\,\hat X_2^{(b)} である。φ=π/2\varphi=\pi/2 では cos⁡φ\cos\varphi の項に掛かる a^\hat a の光子数の揺らぎが消え、ΔN=2αΔX2(b)\Delta N=2\alpha\Delta X_2^{(b)}、∣d⟨N^⟩/dφ∣=N\lvert \mathrm{d}\langle \hat N \rangle /\mathrm{d}\varphi\rvert =N なので

Δφ=2αΔX2(b)N=2ΔX2(b)N.\Delta\varphi=\frac{2\alpha\Delta X_2^{(b)}}{N}=\frac{2\Delta X_2^{(b)}}{\sqrt N}.

真空なら ΔX2(b)=12\Delta X_2^{(b)}=\frac12 で Δφ=1/N\Delta\varphi=1/\sqrt N である。干渉計の雑音は、使っていない入口から入る真空の揺らぎで決まる。位相を付ける操作は exp⁡[iφ(c^†c^−d^†d^)/2]\exp[\mathrm{i}\varphi(\hat c^\dagger\hat c-\hat d^\dagger\hat d)/2] で、生成子 G^=(c^†c^−d^†d^)/2\hat G=(\hat c^\dagger\hat c-\hat d^\dagger\hat d)/2 の分散は、腕の光がそれぞれ平均 N/2N/2 のコヒーレント状態なので (N/2+N/2)/4=N/4(N/2+N/2)/4=N/4。JQ=4(ΔG)2=NJ_{\mathrm Q}=4(\Delta G)^2=N で、量子 Cramér–Rao の下限 1/JQ=1/N1/\sqrt{J_{\mathrm Q}}=1/\sqrt N と一致する。コヒーレント状態の光と真空の組では、この測り方が最良で、これが相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第8章の標準量子限界である。

(3) スクイーズド真空では ΔX2(b)=e−r/2\Delta X_2^{(b)}=\mathrm{e}^{-r}/2 なので、(2) の式から Δφ=e−r/N\Delta\varphi=\mathrm{e}^{-r}/\sqrt N。入れる光子数を増やさずに、誤差が e−r\mathrm{e}^{-r} 倍になる。厳密な分散 Ne−2r+sinh⁡2rN\mathrm{e}^{-2r}+\sinh^2r の2項目は、スクイーズド真空の光子そのものの揺らぎである。rr が大きいとき sinh⁡2r≈e2r/4\sinh^2r\approx\mathrm{e}^{2r}/4 なので、Ne−2r+e2r/4N\mathrm{e}^{-2r}+\mathrm{e}^{2r}/4 を最小にして e4r=4N\mathrm{e}^{4r}=4N、すなわち e2r=2N\mathrm{e}^{2r}=2\sqrt N。このとき分散は N/2+N/2=N\sqrt N/2+\sqrt N/2=\sqrt N で、傾きは N−sinh⁡2r≈NN-\sinh^2r\approx N なので Δφ≈N1/4/N=N−3/4\Delta\varphi\approx N^{1/4}/N=N^{-3/4} である。スクイーズした光子の数 sinh⁡2r≈N/2\sinh^2r\approx\sqrt N/2 は NN に比べてごくわずかで、標準量子限界 N−1/2N^{-1/2} を越えて N−3/4N^{-3/4} まで下がる。

(4) 光子数は N=Pτλ/(hc)=1×10−2×1064×10−9/(1.986×10−25)=5.36×1016N=P\tau\lambda/(hc)=1\times10^{-2}\times1064\times10^{-9}/(1.986\times10^{-25})=5.36\times10^{16} で、Δφ=1/N=4.32×10−9 rad\Delta\varphi=1/\sqrt N=4.32\times10^{-9}\,\mathrm{rad}、ΔL=1064×10−9×4.32×10−9/(4π)=3.66×10−16 m\Delta L=1064\times10^{-9}\times4.32\times10^{-9}/(4\pi)=3.66\times10^{-16}\,\mathrm m である。例題 31.5 (1) から、η=0.9\eta=0.9 で入るスクイーズは分散の比 0.1280.128（8.91 dB8.91\,\mathrm{dB}）で、Δφ\Delta\varphi は 0.128=0.358\sqrt{0.128}=0.358 倍、ΔL=1.31×10−16 m\Delta L=1.31\times10^{-16}\,\mathrm m になる。同じ精度をスクイーズなしで得るには NN を 1/0.128=7.781/0.128=7.78 倍、すなわち出力 7.78 W7.78\,\mathrm W が要る。ひずみは 1.31×10−16/(4×103)=3.3×10−201.31\times10^{-16}/(4\times10^3)=3.3\times10^{-20} である。実際の検出器は腕に共振器を置いて光を何百回も往復させ、出力も桁違いに大きいので、この素朴な見積もりよりはるかに小さいひずみを測る（第2部第18章の 10−2110^{-21}）。それでも、出力を上げるのが難しい所で、効率 0.90.9 の 8.9 dB8.9\,\mathrm{dB} のスクイーズは出力を約8倍にするのと同じ得になる。

(5) c^†c^−d^†d^=12[(a^†+b^†)(a^+b^)−(a^†−b^†)(a^−b^)]=a^†b^+b^†a^\hat c^\dagger\hat c-\hat d^\dagger\hat d=\frac12[(\hat a^\dagger+\hat b^\dagger)(\hat a+\hat b)-(\hat a^\dagger-\hat b^\dagger)(\hat a-\hat b)]=\hat a^\dagger\hat b+\hat b^\dagger\hat a で、a^→α\hat a\to\alpha とすると α(b^+b^†)=2αX^1(b)\alpha(\hat b+\hat b^\dagger)=2\alpha\hat X_1^{(b)} である。腕の光子数の差は入口 b^\hat b の X^1\hat X_1 で決まり、これは (3) で縮めた X^2\hat X_2 と直交する向き、つまり伸ばした向きである。η=0.9\eta=0.9 の分散の比は例題 31.5 (1) の 28.628.6 なので、放射圧の差の揺らぎは真空のときの 28.6=5.34\sqrt{28.6}=5.34 倍になる（置かない場合の厳密な分散は Ne2r+sinh⁡2rN\mathrm{e}^{2r}+\sinh^2r）。読み出しの雑音（ショット雑音）を下げると、鏡を揺らす雑音（放射圧の雑音）が上がる。これはスクイーズの変換が面積を保つこと（命題 31.2）の直接の帰結である。放射圧の雑音は鏡が動きやすい低い周波数で、ショット雑音は高い周波数で大きいので、重力波の検出器は縮める向きを周波数ごとに回す。スクイーズド光を長い共振器（フィルター共振器）で反射させると、共振器の線幅の近くの周波数だけ位相が回り、低い周波数では X^1\hat X_1、高い周波数では X^2\hat X_2 を縮めた光になる。LIGO の2台の検出器は長さ 300 m300\,\mathrm m のフィルター共振器を足してこれを行い、1 kHz1\,\mathrm{kHz} の近くの雑音の振幅を 4.0 dB4.0\,\mathrm{dB}（Hanford）と 5.8 dB5.8\,\mathrm{dB}（Livingston）下げた（D. Ganapathy et al. (2023), Phys. Rev. X 13, 041021）。スクイーズド光の源は第17章の光パラメトリック発振器をしきい値の下で使ったものである。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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