出てくるもの (3)：熱機関の出力・効率・揺らぎ

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第4部 第6章 §4.6.5　★★ 定常的に働く熱機関では $P\le\Delta_P(\eta_{\mathrm C}-\eta)/(2 k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}\eta)$。Carnot 効率に近づくには、出力を0にするか出力の揺らぎを無限にするしかない

出力の揺らぎと効率

温度 $T_{\mathrm h}$ の高温の熱浴と $T_{\mathrm c}$ の低温の熱浴の間で、時間によらない駆動のもとで働き続ける小さな熱機関（熱電素子や、温度差で回る分子モーター）を考える。系が高温の熱浴から受け取る熱の速さを $\dot Q_{\mathrm h}$、低温の熱浴から受け取る熱の速さを $\dot Q_{\mathrm c}$（熱機関なら負）、外へ出す仕事の速さ（出力）を $P$ とする。定常状態のエネルギーの保存は $P=\dot Q_{\mathrm h}+\dot Q_{\mathrm c}$、効率は $\eta\coloneqq P/\dot Q_{\mathrm h}$、Carnot 効率は $\eta_{\mathrm C}\coloneqq1-T_{\mathrm c}/T_{\mathrm h}$ である。系の分布は変わらないので、エントロピー生成は2つの熱浴のエントロピーの増えの和で

$$\dot\Sigma=-\frac{\dot Q_{\mathrm h}}{ k_{\mathrm B} T_{\mathrm h}}-\frac{\dot Q_{\mathrm c}}{ k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}}=-\frac{\dot Q_{\mathrm h}}{ k_{\mathrm B} T_{\mathrm h}}+\frac{\dot Q_{\mathrm h}-P}{ k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}}=\frac{P}{ k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}}\cdot\frac{\eta_{\mathrm C}-\eta}{\eta}\tag{4.6.22}$$

になる（$\dot Q_{\mathrm h}=P/\eta$ と $1/T_{\mathrm c}-1/T_{\mathrm h}=\eta_{\mathrm C}/T_{\mathrm c}$ を使った）。$\dot\Sigma\ge0$ から $\eta\le\eta_{\mathrm C}$ である。

時間 $t$ のあいだに出した仕事 $W_{\mathrm{out}}$ は、逆回しの経路で符号が変わる流れである。その平均は $Pt$、分散は長い時間で $\Delta_Pt$ と書ける（$\Delta_P$ は出力の揺らぎの強さ）。TUR (4.6.9) に式 (4.6.22) を入れると $\frac{\Delta_Pt}{P^2t^2}\ge\frac{2 k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}\eta}{Pt(\eta_{\mathrm C}-\eta)}$、整理して

$$P\ \le\ \Delta_P\,\frac{\eta_{\mathrm C}-\eta}{2 k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}\,\eta}\tag{4.6.23}$$

を得る（P. Pietzonka and U. Seifert (2018), Phys. Rev. Lett. 120, 190602）。

式 (4.6.23) は、大きな出力・Carnot に近い効率・小さな揺らぎの3つを同時には満たせないことを表す。$\eta\to\eta_{\mathrm C}$ で右辺は0に近づくので、揺らぎ $\Delta_P$ が有限のままなら出力は0にならなければならない。逆に有限の出力で Carnot 効率に近づくには、出力の揺らぎが発散しなければならない。マクロな熱力学の教科書では、Carnot 効率は準静的な（したがって出力0の）過程で達成されると習う。式 (4.6.23) は、その「出力0」の理由が揺らぎと散逸の帳尻にあることを、不等式として示している。

図 4.6.3　例題 4.6.5 の1段で回る熱機関（$T_{\mathrm h}=400\,\mathrm K$、$T_{\mathrm c}=300\,\mathrm K$、$\eta_{\mathrm C}=0.25$、1歩で高温から $10\, k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}$ を受け取る）。黒の点線が上限 (4.6.23) の右辺、赤の実線が模型の値（どちらも厳密な式）。Carnot 効率に近づくほど両者は近づき、ともに0へ向かう。