授業で習った形との対応

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第4部 第6章 §4.6.6　★★ 線形応答では Einstein の関係のもとで TUR が等号になる。中心極限定理の $1/\sqrt t$、統計学の Cramér–Rao、量子力学の Mandelstam–Tamm と同じ骨組みを持つ

Einstein の関係と線形応答

統計力学の授業では、Brown 運動の拡散係数と移動度の間に Einstein の関係 $\text{拡散係数}=\text{移動度}\times k_{\mathrm B} T$ が成り立つことを習う。弱い力 $f$ で押された粒子の変位 $X$ について、平均は $\langle X \rangle =\mu_{\mathrm m}ft$（$\mu_{\mathrm m}=1/\gamma$ は移動度）、分散は $\mathrm{Var}(X)=2\mu_{\mathrm m} k_{\mathrm B} T\,t$ である。エントロピー生成は $\langle \Sigma \rangle =f\langle X \rangle /( k_{\mathrm B} T)=\mu_{\mathrm m}f^2t/( k_{\mathrm B} T)$ なので

$$\frac{\mathrm{Var}(X)}{\langle X \rangle ^2}\langle \Sigma \rangle =\frac{2\mu_{\mathrm m} k_{\mathrm B} T\,t}{\mu_{\mathrm m}^2f^2t^2}\cdot\frac{\mu_{\mathrm m}f^2t}{ k_{\mathrm B} T}=2\tag{4.6.24}$$

で、TUR は等号になる（例題 4.6.1 と同じ計算）。一般に平衡に近い線形応答の領域では、流れの平均は親和力に比例し（Onsager の係数 $L$）、流れの揺らぎは揺動散逸定理（Green–Kubo の公式）で同じ $L$ に結びつく：$\langle \mathcal J \rangle =L\mathcal F t$、$\mathrm{Var}(\mathcal J)=2Lt$、$\langle \Sigma \rangle =L\mathcal F^2t$（$\mathcal F$ は $k_{\mathrm B} T$ を単位とした親和力）。このとき $\mathcal R=2$ である。TUR は、揺動散逸定理で等式として成り立つ「揺らぎと散逸の比」を、平衡から遠い領域で不等式として延ばしたものと読むことができる。図 4.6.1 で $\mathcal A_{\mathrm c}\to0$ で $\mathcal R\to2$ になったのは、この線形応答の極限である。

中心極限定理と測定の誤差

統計の授業で習うとおり、独立な $n$ 個の標本の平均の相対誤差は $1/\sqrt n$ で下がる。定常状態の流れ $\mathcal J$ も、長い時間では独立に近い小区間の和なので、中心極限定理から相対誤差は $1/\sqrt t$ で下がる。TUR はこの係数に下限をつけたもので、「$\varepsilon_{\mathcal J}^2\times(\text{単位時間のエントロピー生成})\times t\ge2$」と読むことができる。統計学の Cramér–Rao の不等式（統計学では Fisher 情報を $I(\theta)$ と書く）を、経路を標本とし、流れの強さを未知のパラメータとする推定問題に当てたものが TUR である。

量子力学の時間とエネルギーの不確定性関係

量子力学の授業では、エネルギーの不確定さ $\Delta E$ と、状態が目に見えて変わるまでの時間 $\Delta t$ の間に $\Delta E\,\Delta t\gtrsim\hbar$ の関係があることを習う。これを正確にしたものが Mandelstam–Tamm の限界で、純粋状態 $| \psi(t) \rangle$ が Hamiltonian $\hat H$ のもとで時間 $\tau$ 発展するとき

$$\frac{\Delta E\,\tau}{\hbar}\ \ge\ \arccos\lvert \langle \psi(0) | \psi(\tau) \rangle \rvert ,\qquad\text{特に直交するまでの時間は }\tau_\perp\ge\frac{\pi\hbar}{2\Delta E}\tag{4.6.25}$$

である。第3部第8章で見たとおり、純粋状態のユニタリ発展の量子 Fisher 情報は時間をパラメータとして $J_{\mathrm Q}=4(\Delta E)^2/\hbar^2$ である（第3部第8章）。式 (4.6.25) は、$\int_0^\tau\sqrt{J_{\mathrm Q}}\,\mathrm{d} t=2\Delta E\tau/\hbar$ が忠実度で測った統計的距離 $2\arccos\lvert \langle \psi(0) | \psi(\tau) \rangle \rvert$ 以上である、と書き直すことができる。これは古典の式 (4.6.21) の $J_{\mathrm t}$ を $J_{\mathrm Q}$ に、$\sum\sqrt{p_iq_i}$ を $\lvert \langle \psi | \phi \rangle \rvert$ に置き換えたものにほかならない。量子でも古典でも、速度限界は「状態の変わる速さを Fisher 情報で測り、その曲線の長さが2点の距離以上である」という同じ幾何の不等式である。違うのは速さを決めるものだけで、量子の孤立系ではエネルギーの揺らぎ、確率過程では活動度とエントロピー生成（定理 4.6.4）がその役を担う。なお、平均のエネルギーで押さえる別の限界 $\tau_\perp\ge\pi\hbar/(2(\langle \hat H \rangle -E_0))$（$E_0$ は基底エネルギー）もある（N. Margolus and L. B. Levitin (1998), Physica D 120, 188）。