何を近似したか・何の実験の量で確かめるか

光学と量子エレクトロニクス　第11章 §11.5　★★ 連続体の極限・遷移の選択・局所場の閉じ方・現象論的な減衰と線形応答の4つの近似と、Sellmeier の式・分子屈折・残留線・遅い光の測定

置いた近似

1つ目は、原子の間隔 $a$ が波長 $\lambda$ より十分小さいとして、媒質を連続な分極 $\bm{P}$ を持つ一様な物質とみなしたことである。$\bm{P}$ と $\bm{E}$ は、$a$ より大きく $\lambda$ より小さい範囲の平均である。原子の並びが周期的なら、これは周期構造の均質化の問題で、静的な（楕円型の）問題では平均の極限が証明されている。光の周波数の波へ広げることはその定理の外にあり、$a/\lambda\to0$ に加えて、構造の共鳴から離れていることが少なくとも要る。

2つ目は、原子の多くの遷移のうち、光の周波数に近い1つ（または数個）だけを残したことである。式 (11.2) の和の残りの項を捨てたもので、量子力学の状態空間を基底と1つの励起状態の部分空間に絞ることに当たる。減衰を落とした分極率は2次の摂動論の結果と一致し、捨てた項の寄与は、振動子強度の和が $1$ であること（Thomas–Reiche–Kuhn の総和則）から、捨てた振動子強度を残りの遷移までの $\lvert \omega_j^2-\omega^2\rvert$ の最小値で割った量で上から押さえられる。

3つ目は局所場で、近くの双極子の場 $\bm{E}_{\mathrm{near}}$ を $0$ とおき、残りを巨視的な $\bm{P}$ で書いて方程式を閉じたことである。立方対称の格子の点双極子では命題 11.1 のとおり厳密だが、液体・非晶質・対称性の低い結晶では仮定である。また原子を点双極子とみなしたので、隣の原子の電子雲が重なる密な固体では、この描像自体がずれる。各原子が周りの平均の場の中で応答するとみなす点で、これは平均場の近似と同じ形をしている。

4つ目は、減衰 $\gamma$ を現象論的に入れたことと、光が弱い（線形応答）としたことである。$\gamma$ の起源（自然放出・衝突・Doppler 効果）は第24章と第34章で扱う。光が強くなると2準位系は飽和し、Lorentz 振動子の線形の式から外れる（第1章で述べた違い）。飽和は第19章、振動子の非調和性から出る非線形な応答は第17章（第17章）で扱う。

何の実験の量で確かめるか

最も直接の量は、透明な範囲の屈折率の波長依存性である。ガラスのメーカーは各ガラスの屈折率を、減衰を落とした振動子の和

$$n^2(\lambda)=1+\sum_{j=1}^{3}\frac{B_j\lambda^2}{\lambda^2-C_j}\tag{11.18}$$

（Sellmeier の式）の係数で与える。$\lambda_j=\sqrt{C_j}$ が共鳴の波長、$B_j$ が振動子の強さで、式 (11.3) の $\gamma_j=0$ の形と同じである（$\omega_j=2\pi c/\lambda_j$、$B_j=f_j\omega_{\mathrm p}^2/\omega_j^2$。局所場を入れても共鳴が1つなら同じ形になる）。SCHOTT 社のデータシートの N-BK7 の係数は $B=(1.03961212,\ 0.231792344,\ 1.01046945)$、$C=(0.00600069867,\ 0.0200179144,\ 103.560653)\,\mu\mathrm m^2$ で、共鳴の波長は $77.5\,\mathrm{nm}$・$141\,\mathrm{nm}$（電子の紫外の共鳴）と $10.2\,\mu\mathrm m$（格子振動の赤外の共鳴）になる。この式から $n(587.6\,\mathrm{nm})=1.5168$ が出る。3つの振動子で可視から近赤外の屈折率を表せることが、Lorentz 振動子の和という形の確かめになっている。

局所場の確かめには、密度を変えたときの屈折率を見る。式 (11.8) が正しければ、$(n^2-1)/[(n^2+2)N]$ は密度に依らず一定で、モル質量を掛けた量（分子屈折）は気体と液体でほぼ同じになる。一方、局所場を入れない式 (11.3) では $(n^2-1)/N$ が一定になる。密度が数百倍違う気体と液体を比べると、2つの予言の違いは大きく、液体の屈折率は Lorentz–Lorenz の式のほうに合う（例題 11.7）。

Clausius–Mossotti の関係が破れる例として、水がある。水の可視光の屈折率は約 $1.33$（G. M. Hale, M. R. Querry (1973)、Appl. Opt. 12, 555）で、$n^2\approx1.78$ だが、静電場に対する比誘電率は $25\,^\circ$C で約 $78$（C. G. Malmberg, A. A. Maryott (1956)、J. Res. Natl. Bur. Stand. 56, 1）である。両方に式 (11.8) を当てると、左辺は $0.21$ と $0.96$ で、同じ $N\alpha$ では説明することができない。水分子は永久双極子を持ち、静電場では分子の向きがそろう分極が加わるが、光の周波数では向きの回転が追いつかないからである。分子の向きの応答は Lorentz 振動子でなく緩和の式（Debye 型）で書かれ、この章のモデルの外にある。

残留線の帯は、イオン結晶の赤外の反射スペクトルで測られ、その両端の周波数と静電場・高周波の比誘電率の関係 (11.12) が、Lyddane, Sachs, Teller (1941) の導出以来、多くのイオン結晶で確かめられている。遅い光は、媒質を通ったパルスの到着の遅れを直接測る。前節で引いた Hau ほか (1999) の $17\,\mathrm{m/s}$ はその1つである。