授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第11章 §11.6　★★ 学部の光学で習う分散公式・Cauchy の式・Lorentz–Lorenz の式・群速度の式が、この章の振動子と局所場のどこから出るか

学部の光学の授業では、物質の分散を次の形で習う。電子の振動の方程式を解いて、多くの共鳴の和として

$$\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)=1+\frac{Ne^2}{\varepsilon_0m}\sum_j\frac{f_j}{\omega_j^2-\omega^2-\mathrm{i}\gamma_j\omega}$$

を書き、これを分散公式と呼ぶ。この章の式 (11.3) と同じである。この章の言葉では、これは局所場を無視した薄い気体の式で、密な物質では Clausius–Mossotti の関係 (11.8) に置き換わる。共鳴が1つなら置き換えた結果も同じ形 (11.9) で、共鳴の位置が $\omega_{\mathrm t}^2=\omega_0^2-\omega_{\mathrm p}^2/3$ へずれるだけなので、実験で $\omega_j$ と $f_j$ を合わせる限り、2つの式を区別することはできない。違いが見えるのは密度を変えたときである。

透明なガラスの屈折率は、授業では経験式の Cauchy の式

$$n(\lambda)\approx A+\frac{B'}{\lambda^2}$$

で習う。これは Sellmeier の式 (11.18) で、紫外の共鳴1つだけを残し、$\lambda\gg\lambda_j$ で展開したものである。$n^2=1+B\lambda^2/(\lambda^2-\lambda_0^2)\approx1+B+B\lambda_0^2/\lambda^2$ の平方根を取って

$$A=\sqrt{1+B},\qquad B'=\frac{B\lambda_0^2}{2\sqrt{1+B}}$$

を得る。$B'>0$ は正常分散を表し、紫外の共鳴が遠いほど（$\lambda_0$ が小さいほど）分散は小さい。赤外の格子振動の共鳴を捨てたので、Cauchy の式は近赤外で合わなくなる（例題 11.8）。

Lorentz–Lorenz の式は、授業では分子屈折 $R_{\mathrm m}=\frac{M}{\rho}\frac{n^2-1}{n^2+2}$（$M$ はモル質量、$\rho$ は密度）が物質ごとの定数になる、という形で習う。$N=\rho N_{\mathrm A}/M$ を式 (11.8) に入れると $R_{\mathrm m}=N_{\mathrm A}\alpha/(3\varepsilon_0)$ で、分子屈折は分子1個の分極率をモルあたりにしたものにすぎない。群速度は $v_{\mathrm g}=\mathrm{d}\omega/\mathrm{d} k$ として習い、式 (11.13) と同じである。この章では、これらの式がばらばらの経験則でなく、振動子の和と局所場という2つの仮定から出ることを示した。