出てくるもの（2）：位相速度・群速度と遅い光

光学と量子エレクトロニクス　第11章 §11.4　★★★ パルスの包絡線は群屈折率 $n_{\mathrm g}=n+\omega\,\mathrm{d} n/\mathrm{d}\omega$ で決まる速さで進む。2つの振動子を結合させると、吸収の谷の中に急な正常分散が開き、$n_{\mathrm g}$ は $\omega_{\mathrm p}^2/\Omega_{\mathrm c}^2$ まで大きくなる

パルスの包絡線の速さ

平面波の位相は $\omega t-k z$ が一定の面で、その速さは位相速度 $v_{\mathrm p}=\omega/k=c/n$ である。ところが情報やエネルギーを運ぶのは、有限の長さを持つパルスである。中心の角周波数 $\omega_{\mathrm c}$ のまわりに広がった波を

$$E(z,t)=\int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\,\tilde E(\omega)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k(\omega)z-\omega t)},\qquad k(\omega)=\frac{n(\omega)\omega}{c}$$

と書き（この巻の Fourier の流儀）、吸収を無視して $k(\omega)$ を $\omega_{\mathrm c}$ のまわりで $k\approx k_{\mathrm c}+k'(\omega-\omega_{\mathrm c})+\frac12k''(\omega-\omega_{\mathrm c})^2$ と展開する。2次の項を落とすと

$$E(z,t)\approx\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_{\mathrm c}z-\omega_{\mathrm c}t)}\,\mathcal E(t-k'z),\qquad\mathcal E(\tau)=\int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\,\tilde E(\omega)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\omega-\omega_{\mathrm c})\tau}$$

で、包絡線 $\mathcal E$ は形を変えずに速さ $1/k'$ で進む。この速さを群速度と呼ぶ。$k'=\mathrm{d}(n\omega/c)/\mathrm{d}\omega$ を計算して

$$v_{\mathrm g}=\Bigl(\frac{\mathrm{d} k}{\mathrm{d}\omega}\Bigr)^{-1}=\frac{c}{n_{\mathrm g}},\qquad n_{\mathrm g}=n+\omega\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d}\omega}=n-\lambda\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d}\lambda}\tag{11.13}$$

を得る。$n_{\mathrm g}$ を群屈折率と呼ぶ（$\lambda$ は真空中の波長で、$\omega\,\mathrm{d}/\mathrm{d}\omega=-\lambda\,\mathrm{d}/\mathrm{d}\lambda$）。正常分散の範囲では $\mathrm{d} n/\mathrm{d}\omega>0$ なので $n_{\mathrm g}>n$ で、パルスは位相より遅れて進む。

落とした2次の項 $k''=\mathrm{d}^2k/\mathrm{d}\omega^2$ は群速度分散（GVD）と呼ばれ、周波数ごとに群速度が違うためにパルスが広がる度合いを表す。波長で書くと

$$k''=\frac{\lambda^3}{2\pi c^2}\frac{\mathrm{d}^2n}{\mathrm{d}\lambda^2}\tag{11.14}$$

である。包絡線が $\exp(-t^2/(2\tau_0^2))$ の Gauss 型のパルスは、距離 $z$ 進むと幅が $\tau_0\sqrt{1+(k''z/\tau_0^2)^2}$ に広がる。

吸収の線の中の群速度

正常分散の範囲から共鳴に近づくと $n_{\mathrm g}$ は大きくなる。ところが共鳴の中心の異常分散の範囲では $\mathrm{d} n/\mathrm{d}\omega<0$ で、例題 11.3 の蒸気では中心の傾きから $n_{\mathrm g}\approx\omega_0\,\mathrm{d} n/\mathrm{d}\omega=-\omega_{\mathrm p}^2/\gamma^2=-8.1\times10^4$ になる。群速度が真空の光速より大きいか負になるが、これは信号が光速を超えることを意味しない。この範囲では光が $59\,\mu\mathrm m$ ごとに $1/\mathrm{e}$ に吸収され、パルスの前の部分より後ろの部分が強く削られて、包絡線のピークが前へずれて見えるだけである。式 (11.13) を導くときに吸収と $k''$ を落としたので、この範囲ではそもそも包絡線が形を保たない。信号の先端が光速 $c$ を超えないことは、$\chi(\omega)$ が上半面で解析的であること（因果律）から言え、第12章で扱う。

結合した2つの振動子と遅い光

群屈折率を大きくするには、吸収を小さく保ったまま $\mathrm{d} n/\mathrm{d}\omega$ を大きくすればよい。1つの Lorentz 振動子ではこの2つは両立しない。急な分散は共鳴の中心にしかなく、そこは吸収も最大だからである。2つ目の振動子を結合させると、この2つが両立する。光が直接駆動する振動子1（減衰 $\gamma_1$）に、光と結合しない振動子2（減衰 $\gamma_2\ll\gamma_1$）を、同じ固有角周波数 $\omega_0$ で結合させる：

$$\ddot x_1+\gamma_1\dot x_1+\omega_0^2x_1=-\frac{e}{m}E_{\mathrm{loc}}+\omega_0\Omega_{\mathrm c}x_2,\qquad\ddot x_2+\gamma_2\dot x_2+\omega_0^2x_2=\omega_0\Omega_{\mathrm c}x_1 .\tag{11.15}$$

$\Omega_{\mathrm c}$ は結合の強さを角周波数で表したものである。定常解を求めて、共鳴の近くで $\omega_0^2-\omega^2-\mathrm{i}\gamma_k\omega\approx2\omega_0(\omega_0-\omega-\mathrm{i}\gamma_k/2)$ とおき、離調 $\delta=\omega-\omega_0$ を使うと、薄い気体の感受率は

$$\chi(\delta)=\frac{\omega_{\mathrm p}^2}{2\omega_0}\,\frac{1}{-\delta-\mathrm{i}\gamma_1/2+\dfrac{\Omega_{\mathrm c}^2/4}{\delta+\mathrm{i}\gamma_2/2}}\tag{11.16}$$

になる（$\Omega_{\mathrm c}=0$ で式 (11.11) に戻る）。

$\gamma_2\to0$ とすると、分母の第3項は $\delta=0$ で発散するので、$\chi(0)=0$ になる。共鳴の中心で吸収も屈折も消え、媒質は透明になる。振動子1を駆動する力と、振動子2から結合を通して戻ってくる力が、$\delta=0$ でちょうど打ち消すからである。$\delta$ が小さいとき分母は $\Omega_{\mathrm c}^2/(4\delta)$ に近いので $\chi\approx2\omega_{\mathrm p}^2\delta/(\omega_0\Omega_{\mathrm c}^2)$ で、$n-1=\chi/2$ の傾きと式 (11.13) から

$$n_{\mathrm g}\approx\omega_0\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d}\omega}=\frac{\omega_{\mathrm p}^2}{\Omega_{\mathrm c}^2}\tag{11.17}$$

を得る。透明な窓の中の分散は正常分散で、その傾きは結合を弱くするほど急になる。窓の幅は、分母の $\Omega_{\mathrm c}^2/(4\lvert \delta\rvert )$ が $\gamma_1/2$ と同じになる $\lvert \delta\rvert \approx\Omega_{\mathrm c}^2/(2\gamma_1)$ で決まり、結合を弱くするほど狭くなる。$\gamma_2\ne0$ では中心の吸収は完全には消えず、結合が無い場合の $1/(1+\Omega_{\mathrm c}^2/(\gamma_1\gamma_2))$ 倍に下がる。図 11.4 が式 (11.16) の形である。

これは量子力学の3準位原子で起こる電磁誘起透明化（EIT）の古典版で、結合した2つの振動子の模型は C. L. Garrido Alzar, M. A. G. Martinez, P. Nussenzveig (2002)、Am. J. Phys. 70, 37 が詳しく調べている。原子では、振動子2の役を、光で直接つながらない別の準位が担い、$\Omega_{\mathrm c}$ は別のレーザー（結合光）の Rabi 周波数である。量子論の取り扱いは第19章（第19章）の光 Bloch 方程式の上で行う。L. V. Hau, S. E. Harris, Z. Dutton, C. H. Behroozi (1999)、Nature 397, 594 は、ナトリウム原子の極低温の気体でこの窓を使い、光パルスの群速度を $17\,\mathrm{m/s}$（$n_{\mathrm g}\approx1.8\times10^7$）まで下げた。