この章のまとめ

(1) 原子1個の分極率は $\alpha=(e^2/m)/(\omega_0^2-\omega^2)$ なので、$N\alpha/(3\varepsilon_0)=(\omega_{\mathrm p}^2/3)/(\omega_0^2-\omega^2)$ である。透明な範囲では第10章のとおり $\varepsilon_{\mathrm r}=n^2$ で、Clausius–Mossotti の関係 (11.8) の左辺が $(n^2-1)/(n^2+2)$ になる。

(2) $x=(\lambda_0/\lambda)^2$ とおくと $\omega^2/\omega_0^2=x$ で、(1) は $(n^2-1)/(n^2+2)=(\omega_{\mathrm p}^2/3\omega_0^2)/(1-x)$。d 線で $x_d=(100/587.6)^2=0.02896$、左辺は $1.25/4.25=0.2941$ なので

$$\frac{\omega_{\mathrm p}^2}{\omega_0^2}=3\times0.2941\times(1-0.02896)=0.8568 .$$

式 (11.9) から $\omega_{\mathrm t}^2=\omega_0^2(1-0.8568/3)$、$\omega_{\mathrm t}=0.8452\,\omega_0$ で、$\lambda_{\mathrm t}=\lambda_0/0.8452=118.3\,\mathrm{nm}$。局所場は吸収の線を $18\,\mathrm{nm}$ 長い波長へずらす。

(3) (1) を $n^2=(1+2q)/(1-q)$、$q=(0.8568/3)/(1-x)$ と解いて、F 線（$x=0.04232$）で $n_F=1.50826$、C 線（$x=0.02322$）で $n_C=1.49653$。$V_d=0.5000/(1.50826-1.49653)=42.6$ である。薄いレンズの屈折力は $n-1$ に比例する（第2章）ので、$1/f_F-1/f_C=(n_F-n_C)/[(n_d-1)f_d]=1/(V_df_d)$、すなわち

$$f_F-f_C\approx-\frac{f_d}{V_d}=-\frac{100}{42.6}=-2.35\,\mathrm{mm}.$$

（$f\propto1/(n-1)$ のまま計算すると $-2.32\,\mathrm{mm}$ で、差は $n_F-n_C$ の2次の項である。）青い光の焦点が赤い光より $2.35\,\mathrm{mm}$ レンズに近い。第3章の色消しは、この差を $V$ の違う2枚のガラスで打ち消す設計である。

(4) (1) を微分して $\mathrm{d} n/\mathrm{d}\lambda$ を求めると（数値微分でもよい）$n_{\mathrm g}=n-\lambda\,\mathrm{d} n/\mathrm{d}\lambda=1.5352$。板の通過時間は位相が $Ln_d/c=50.03\,\mathrm{ps}$、包絡線が $Ln_{\mathrm g}/c=51.21\,\mathrm{ps}$ で、包絡線は $1.17\,\mathrm{ps}$ 遅れる。N-BK7（例題 11.5、$800\,\mathrm{nm}$ で $0.53\,\mathrm{ps}$）より大きいのは、波長が短く、共鳴が近いからである。

(5) 局所場を無視すると $n^2=1+(\omega_{\mathrm p}^2/\omega_0^2)/(1-x_d)=1+0.8568/0.9710=1.8824$、$n_d=1.372$ になり、$n-1$ が $0.37$ と、局所場を入れた $0.50$ より $26\%$ 小さい。固体の密度では $N\alpha/(3\varepsilon_0)=0.29$ が $1$ に比べて小さくないので、局所場の補正は屈折率の値そのものを変える。逆に、実測の $n_d$ に合わせて $\omega_{\mathrm p}$ を選び直せば、局所場の有無は共鳴の位置のずれ（(2) の $18\,\mathrm{nm}$）として現れるだけで、可視の分散の形からは区別しにくい。局所場は C 型の近似で、近くの双極子の場を $0$ とおいたことの正しさは、このガラスが立方対称の格子でない以上、この模型の中では評価できない（11.5節の札）。それを確かめるには、密度を変えたときの屈折率を測る。