多重反射のモード：Fabry–Perot 干渉計と臨界結合

光学と量子エレクトロニクス　第9章 §9.2　★★★ 2枚の鏡の間の多重反射を足すと Airy 関数になり、共鳴の近くでは共振器は1つの減衰するモードとして書ける。入口の結合と残りの損失が等しいと反射が消える

多重反射の和と Airy 関数

平行な2枚の鏡を距離 $L$ だけ離して置き、間を屈折率 $1$ の媒質で満たす。鏡 $i$（$i=1,2$）の強度の反射率・透過率・吸収率を $R_i$, $T_i$, $A_i$（$R_i+T_i+A_i=1$）とし、共振器の内側の面での振幅の反射率を実数 $r_i=\sqrt{R_i}>0$ にとる（反射の位相は基準面の位置、つまり $L$ の小さな付け替えに吸収できる）。光が垂直に入るとき、鏡の間を1往復した光は位相 $\varphi=2kL$ をもらう。鏡1を透過した振幅 $t_1E_0$ は、鏡2を透過して出るまでに0回、1回、2回、…と往復し、往復のたびに $r_1r_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$ が掛かる。出ていく振幅を足し上げると

$$t_{\mathrm{FP}}=t_1t_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi/2}\sum_{m=0}^{\infty}\bigl(r_1r_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\bigr)^m=\frac{t_1t_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi/2}}{1-r_1r_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}}\tag{9.5}$$

で、透過率は

$$\mathcal T_{\mathrm{FP}}(\varphi)=\lvert t_{\mathrm{FP}}\rvert ^2=\frac{\mathcal T_{\max}}{1+F\sin^2(\varphi/2)},\qquad \mathcal T_{\max}=\frac{T_1T_2}{(1-\sqrt{R_1R_2})^2},\qquad F=\frac{4\sqrt{R_1R_2}}{(1-\sqrt{R_1R_2})^2}\tag{9.6}$$

となる。この $\varphi$ の関数を Airy 関数と呼ぶ（第6章の Airy 円盤とは別のものである）。$\varphi=2\pi m$（$m$ は整数）で透過率が最大になる。この条件 $2L=m\lambda$ が共振器の縦モードで、隣の共鳴までの周波数の間隔は $\nu_{\mathrm{FSR}}=c/(2L)$（第1章（第1章）の FSR）である。損失が無く鏡が等しい（$R_1=R_2=R$, $A_i=0$）と $\mathcal T_{\max}=1$ で、反射率 $0.99$ の鏡2枚を重ねても、共鳴では光がすべて通り抜ける。

共鳴の鋭さは、透過率が半分になる $F\sin^2(\varphi/2)=1$ で測る。$F\gg1$ では半値全幅が $\varphi$ で $4/\sqrt F$ なので、共鳴の間隔 $2\pi$ との比

$$\mathcal F=\frac{2\pi}{4/\sqrt F}=\frac{\pi\sqrt F}{2}=\frac{\pi(R_1R_2)^{1/4}}{1-\sqrt{R_1R_2}}\tag{9.7}$$

をフィネスと呼ぶ。周波数の半値全幅は $\Delta\nu_{1/2}=\nu_{\mathrm{FSR}}/\mathcal F$ である。厳密には半値全幅は $\varphi$ で $4\arcsin(1/\sqrt F)$ で、式 (9.7) はその $F\gg1$ の形である。これは第5章で周回の Airy 関数から出したフィネス（式 (5.18) で $r_1r_2$ を $\sqrt{R_1R_2}$ と読んだもの。$R_i=r_i^2$）と同じ式で、線幅と光子の寿命の関係 $\Delta\nu_{1/2}=1/(2\pi\tau_{\mathrm c})$ も第5章の式 (5.20) のとおりである（この章では $\tau_{\mathrm c}$ をコヒーレンス時間に使うので、光子の寿命は次の小節の減衰率 $\kappa$ を使って $1/\kappa$ と書く。第5章の $\tau_{\mathrm c}$ と同じ量である）。この節で多重反射を足し上げたのは、外から見た透過の最大値 $\mathcal T_{\max}$ と、鏡の吸収 $A_i$ がそれをどう下げるかを出すためである。図 9.2 に3つの反射率で Airy 関数を描いた。反射率を上げると、共鳴の間隔を変えずに幅だけが狭くなる。

共鳴の近くを1つのモードで書く

$F\gg1$ のとき、共鳴 $\varphi=2\pi m$ の近くでは $\sin^2(\varphi/2)\approx(\varphi-2\pi m)^2/4$ で、$\varphi-2\pi m=2L(\omega-\omega_{\mathrm c})/c$（$\omega_{\mathrm c}=2\pi m\cdot c/(2L)$ は共鳴の角周波数）なので、Airy 関数は角周波数について Lorentz 形

$$\mathcal T_{\mathrm{FP}}\approx\frac{\mathcal T_{\max}}{1+(2\Delta_{\mathrm c}/\kappa)^2},\qquad \Delta_{\mathrm c}=\omega-\omega_{\mathrm c},\qquad \kappa=\frac{2c}{L\sqrt F}$$

になる（$\kappa$ は角周波数の半値全幅）。この形は、共振器の中に1つのモードだけがあり、その振幅がエネルギーの減衰率 $\kappa$ で減衰振動する、と考えても出てくる。共振器の中の場のモードの複素振幅を $a(t)$（$\lvert a\rvert ^2$ がモードのエネルギー）、入射波の振幅を $s_{\mathrm{in}}(t)$（$\lvert s_{\mathrm{in}}\rvert ^2$ がパワー）として

$$\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}=-\mathrm{i}\omega_{\mathrm c}a-\frac{\kappa}{2}a+\sqrt{\kappa_1}\,s_{\mathrm{in}},\qquad s_{\mathrm r}=-s_{\mathrm{in}}+\sqrt{\kappa_1}\,a,\qquad s_{\mathrm t}=\sqrt{\kappa_2}\,a,\qquad \kappa=\kappa_1+\kappa_2+\kappa_0\tag{9.8}$$

と置く。$\kappa_1$, $\kappa_2$ は鏡1・鏡2から外へ漏れ出る率、$\kappa_0$ は吸収など共振器の中で失われる率で、$s_{\mathrm r}$, $s_{\mathrm t}$ は反射と透過の振幅である。$s_{\mathrm r}$ の第1項 $-s_{\mathrm{in}}$ は鏡1の外側の面で直接返る光で、共鳴から遠い所では $s_{\mathrm r}\approx-s_{\mathrm{in}}$（$r_1\approx1$ の鏡の外側の反射率 $-r_1$）になるように符号を選んだ。1往復の時間 $2L/c$ に鏡 $i$ から割合 $T_i$ が漏れるので、$T_i\ll1$ では $\kappa_i=cT_i/(2L)$、$\kappa_0=c(A_1+A_2)/(2L)$ である。エネルギーの収支を確かめると、式 (9.8) から $\mathrm{d}\lvert a\rvert ^2/\mathrm{d} t=-\kappa\lvert a\rvert ^2+2\sqrt{\kappa_1}\operatorname{Re}(a^*s_{\mathrm{in}})$ で、外から入って出ていかないパワー $\lvert s_{\mathrm{in}}\rvert ^2-\lvert s_{\mathrm r}\rvert ^2-\lvert s_{\mathrm t}\rvert ^2=2\sqrt{\kappa_1}\operatorname{Re}(a^*s_{\mathrm{in}})-(\kappa_1+\kappa_2)\lvert a\rvert ^2$ は、モードのエネルギーの増える速さと中で失われる $\kappa_0\lvert a\rvert ^2$ の和に等しい。

角周波数 $\omega$ の入射 $s_{\mathrm{in}}\propto\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ に対する定常解は $a=\sqrt{\kappa_1}s_{\mathrm{in}}/(\kappa/2-\mathrm{i}\Delta_{\mathrm c})$ で、

$$r(\Delta_{\mathrm c})=\frac{s_{\mathrm r}}{s_{\mathrm{in}}}=-1+\frac{\kappa_1}{\kappa/2-\mathrm{i}\Delta_{\mathrm c}},\qquad \lvert t(\Delta_{\mathrm c})\rvert ^2=\frac{\lvert s_{\mathrm t}\rvert ^2}{\lvert s_{\mathrm{in}}\rvert ^2}=\frac{\kappa_1\kappa_2}{\kappa^2/4+\Delta_{\mathrm c}^2}\tag{9.9}$$

となる。共鳴での透過率は $4\kappa_1\kappa_2/\kappa^2$ で、$\kappa_i=cT_i/(2L)$ を入れると $4T_1T_2/(T_1+T_2+A_1+A_2)^2$ になり、式 (9.6) の $\mathcal T_{\max}$ を $1-R_i\ll1$ で展開したものと一致する。1つのモードの式 (9.8) は、多重反射の和 (9.5) のうち1つの共鳴の近くだけを取り出したもので、ほかの縦モード（$\pm\nu_{\mathrm{FSR}}$ 離れた共鳴）を捨てている。この縮約が使えるのは、線幅 $\kappa/(2\pi)$ が共鳴の間隔 $\nu_{\mathrm{FSR}}$ より十分小さい、つまり $\mathcal F\gg1$ のときである。

臨界結合

式 (9.9) の共鳴での反射率は

$$r(0)=\frac{\kappa_1-(\kappa_2+\kappa_0)}{\kappa_1+\kappa_2+\kappa_0}\tag{9.10}$$

で、入口の鏡から漏れる率 $\kappa_1$ が、それ以外のすべての損失 $\kappa_2+\kappa_0$ に等しいとき $0$ になる。これを臨界結合と呼ぶ。臨界結合では、入口の鏡で直接返る光（$-s_{\mathrm{in}}$）と、共振器にたまって鏡1から漏れ出る光（$\sqrt{\kappa_1}a$）が同じ大きさで逆の位相になり、打ち消し合う。$\kappa_1<\kappa_2+\kappa_0$ を結合不足、$\kappa_1>\kappa_2+\kappa_0$ を結合過剰と呼ぶ。出口の鏡と損失を決めたとき、共鳴の透過率 $4\kappa_1\kappa_2/\kappa^2$ を $\kappa_1$ について最大にする条件も$\partial(\kappa_1/(\kappa_1+\kappa_2+\kappa_0)^2)/\partial\kappa_1=0$ から $\kappa_1=\kappa_2+\kappa_0$ で、臨界結合と同じになる。

反射の振幅 $r(\Delta_{\mathrm c})$ は、$\Delta_{\mathrm c}$ を $-\infty$ から $+\infty$ まで動かすと複素平面で円を描く。$1/(1-\mathrm{i} x)$ が中心 $1/2$・半径 $1/2$ の円を描くことから、$r$ は中心 $-1+\kappa_1/\kappa$・半径 $\kappa_1/\kappa$ の円を描き、$\Delta_{\mathrm c}=\pm\infty$ で $-1$ に戻る（図 9.3）。この円が原点を囲むのは半径が中心までの距離より大きいとき、つまり $\kappa_1/\kappa>1/2$（結合過剰）のときで、そのとき反射の位相は共鳴を横切るあいだに $2\pi$ 回る。結合不足では円が原点を囲まず、位相は行って戻るだけである。反射の強度 $\lvert r\rvert ^2$ は $\kappa_1$ と $\kappa_2+\kappa_0$ を入れ替えても変わらないので、強度だけからは結合不足と結合過剰を区別できず、位相を測って初めて区別できる。