時間的コヒーレンスと Wiener–Khinchin の定理

光学と量子エレクトロニクス　第9章 §9.3　★★★ Michelson 干渉計の縞の可視度は光の1次の相関関数 $g^{(1)}(\tau)$ の大きさで、$g^{(1)}(\tau)$ の Fourier 変換がスペクトルである

揺らぐ場と1次の相関関数

ここまでの式は単色の光、つまり振幅が一定の $E_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ を仮定していた。実際の光源の光は、原子が別々の時刻にばらばらの位相で光を出すので、振幅も位相も時間とともにでたらめに揺らぐ。そこで電場を複素数の値をとる確率過程 $E(t)$（正の周波数の部分だけを残した解析信号）とみなし、統計的に定常（平均が時刻の原点によらない）だとする。観測にかかる量は時間平均（または集団平均。両者が等しいとする）の $\langle \cdots \rangle$ で書く。1次の相関関数とその規格化を

$$G^{(1)}(\tau)=\langle E^*(t)E(t+\tau) \rangle ,\qquad g^{(1)}(\tau)=\frac{G^{(1)}(\tau)}{G^{(1)}(0)}\tag{9.11}$$

と定義する。添字 $(1)$ は、場を1回ずつ掛けた相関であることを表す（強度の相関 $g^{(2)}$ は第32章（第32章）で扱う）。定義から $g^{(1)}(0)=1$, $g^{(1)}(-\tau)=g^{(1)}(\tau)^*$, $\lvert g^{(1)}(\tau)\rvert \le1$（Cauchy–Schwarz の不等式）である。単色の光では $g^{(1)}(\tau)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}$ で、大きさがいつも $1$ になる。

50:50 の Michelson 干渉計で2本の腕の往復の時間差を $\tau=2(d_1-d_2)/c$ とすると、出口の場は $E(t)$ と $E(t+\tau)$ の和に比例し（共通の因子は省く）、強度の平均は

$$\langle I_{\mathrm{out}} \rangle =\frac{I_0}{2}\Bigl(1+\operatorname{Re} g^{(1)}(\tau)\Bigr)\tag{9.12}$$

となる。$g^{(1)}(\tau)=\lvert g^{(1)}(\tau)\rvert \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bar\omega\tau+\mathrm{i}\alpha(\tau)}$ と、中心の角周波数 $\bar\omega$ で速く回る部分とゆっくり変わる大きさと位相に分けると、$\tau$ を光の周期の程度だけ変えたときの縞の可視度は $\mathcal V=\lvert g^{(1)}(\tau)\rvert$ である。腕の差を広げると縞が薄くなるのは、光の相関が時間とともに失われるためである。$\lvert g^{(1)}\rvert$ が1から十分小さくなるまでの時間の目安をコヒーレンス時間と呼び、この章では

$$\tau_{\mathrm c}=\int_{-\infty}^{\infty}\lvert g^{(1)}(\tau)\rvert ^2\,\mathrm{d}\tau\tag{9.13}$$

で定義する（Mandel と Wolf の定義）。光がその間に進む距離 $l_{\mathrm c}=c\tau_{\mathrm c}$ をコヒーレンス長と呼ぶ。

Wiener–Khinchin の定理

証明

$\langle \lvert \tilde E_{t_{\mathrm f}}(\omega)\rvert ^2 \rangle =\int\!\!\int_{-t_{\mathrm f}/2}^{t_{\mathrm f}/2}\langle E^*(t)E(t') \rangle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega(t'-t)}\mathrm{d} t\,\mathrm{d} t'$ で、定常性から被積分関数は $\tau=t'-t$ だけの関数 $G^{(1)}(\tau)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\tau}$ である。正方形の中で $t'-t=\tau$ となる線分の長さは $t_{\mathrm f}-\lvert \tau\rvert$ なので

$$\frac{1}{t_{\mathrm f}}\langle \lvert \tilde E_{t_{\mathrm f}}(\omega)\rvert ^2 \rangle =\int_{-t_{\mathrm f}}^{t_{\mathrm f}}\Bigl(1-\frac{\lvert \tau\rvert }{t_{\mathrm f}}\Bigr)G^{(1)}(\tau)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau .$$

$G^{(1)}$ が絶対可積分なので、優収束定理により $t_{\mathrm f}\to\infty$ で右辺は $\int G^{(1)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau$ に収束する。左辺は負にならないので $S(\omega)\ge0$。第2式はこの本の流儀の時間の Fourier 変換の逆変換である。

定理 9.2 の第2式で $\tau=0$ とおくと、$G^{(1)}(0)=\langle \lvert E\rvert ^2 \rangle =\int S(\omega)\mathrm{d}\omega/(2\pi)$ で、$S(\omega)\mathrm{d}\omega/(2\pi)$ が角周波数 $\omega$ のまわりの幅 $\mathrm{d}\omega$ に入るパワーである。したがって、Michelson 干渉計で腕の差 $\tau$ を変えながら縞を記録し、その $\operatorname{Re} g^{(1)}(\tau)$ を Fourier 変換すればスペクトルが出る。これが Fourier 変換分光で、分解能は腕の差の最大値 $\tau_{\max}$ の逆数 $\delta\nu\approx1/\tau_{\max}$ で決まる。

スペクトルの形ごとに $g^{(1)}$ を並べておく。原子の自然放出のように振幅が $\mathrm{e}^{-\Gamma t/2}$ で減衰しながら出る光の重ね合わせは Lorentz 形のスペクトルを持ち、気体の原子の熱運動による Doppler 広がりは Gauss 形になる（第24章）。中心の角周波数を $\omega_0$ として

$$\begin{aligned} \text{Lorentz 形：}&\quad S(\omega)\propto\frac{\Gamma}{(\omega-\omega_0)^2+\Gamma^2/4},& g^{(1)}(\tau)&=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_0\tau-\Gamma\lvert \tau\rvert /2},& \tau_{\mathrm c}&=\frac{2}{\Gamma}=\frac{1}{\pi\Delta\nu},\\ \text{Gauss 形：}&\quad S(\omega)\propto\mathrm{e}^{-(\omega-\omega_0)^2/(2\sigma_\omega^2)},& g^{(1)}(\tau)&=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_0\tau-\sigma_\omega^2\tau^2/2},& \tau_{\mathrm c}&=\frac{\sqrt\pi}{\sigma_\omega}=\sqrt{\frac{2\ln2}{\pi}}\,\frac{1}{\Delta\nu} \end{aligned}\tag{9.15}$$

である。$\Delta\nu$ は周波数で測ったスペクトルの半値全幅（Lorentz 形で $\Gamma/2\pi$、Gauss 形で $2\sqrt{2\ln2}\,\sigma_\omega/2\pi$）である。どちらの形でも $\tau_{\mathrm c}\Delta\nu$ は $1$ の程度の数（$0.318$ と $0.664$）で、スペクトルが狭いほど光は長く相関を保つ。数の違いは形の違いを反映していて、スペクトルの裾の重い Lorentz 形のほうが同じ半値幅で相関を早く失う。