空間的コヒーレンスと van Cittert–Zernike の定理

光学と量子エレクトロニクス　第9章 §9.4　★★★ 広がった光源からの光の2点の間の相関は、光源の強度分布の Fourier 変換で決まる。式の形は Fraunhofer 回折と同じで、光源が小さいほど遠くの2点まで相関する

2点の相関と Young の縞

時間の相関が「同じ点の、時刻の違う2つの場」の相関だったのに対し、空間の相関は「同じ時刻の、場所の違う2つの場」の相関である。光の進む向きに垂直な面の上の2点 $\bm{x}_1$, $\bm{x}_2$ の場の相関を

$$G^{(1)}_{12}=\langle E^*(\bm{x}_1,t)E(\bm{x}_2,t) \rangle ,\qquad g^{(1)}_{12}=\frac{G^{(1)}_{12}}{\sqrt{\langle \lvert E(\bm{x}_1)\rvert ^2 \rangle \langle \lvert E(\bm{x}_2)\rvert ^2 \rangle }}\tag{9.16}$$

と書く。この面に2つの小さな穴をあけて後ろの幕に Young の縞を作ると、2つの穴からの光の強度が等しいとき、幕の中心付近の縞の可視度は $\lvert g^{(1)}_{12}\rvert$ になる。計算は式 (9.12) と同じで、穴から幕の点までの2本の経路の差が、時間差 $\tau$ の代わりに位相差を作る（経路の差がコヒーレンス長より十分短い範囲で）。

van Cittert–Zernike の定理

式 (9.17) は、開口の透過関数を光源の強度分布に置き換えた Fraunhofer 回折の式（第6章）と同じ形をしている。ただし Fraunhofer 回折では開口の上の場の振幅を Fourier 変換したのに対し、ここでは光源の強度を Fourier 変換している。光源の各点が無相関なので、振幅でなく強度が足し合わされるからである。また、光源の面の上の位相 $k\lvert \bm{\xi}\rvert ^2/(2z)$ が差をとると消えるので、Fraunhofer 回折のような「光源が $\sqrt{\lambda z}$ より小さい」という条件は要らない。

一様な明るさの円盤（半径 $a$）の光源では、円の Fourier 変換（第6章の Airy 円盤と同じ計算）から

$$\lvert g^{(1)}_{12}\rvert =\Bigl\lvert\frac{2J_1(v)}{v}\Bigr\rvert,\qquad v=k\theta_{\mathrm s}d=\frac{\pi\theta_{\mathrm D}d}{\lambda}\tag{9.18}$$

となる。$d=\lvert \bm{x}_2-\bm{x}_1\rvert$ は2点の間隔、$\theta_{\mathrm s}=a/z$ は光源の見込む角の半径、$\theta_{\mathrm D}=2\theta_{\mathrm s}$ は角直径、$J_1$ は1次の Bessel 関数である。$J_1$ の最初の零点 $v=3.832$ で可視度が $0$ になるので、相関が最初に消える間隔は

$$d_0=\frac{3.832}{\pi}\frac{\lambda}{\theta_{\mathrm D}}=1.22\,\frac{\lambda}{\theta_{\mathrm D}}$$

である（図 9.4）。同じ $1.22$ が Airy 円盤の半径にも出るのは、どちらも一様な円の Fourier 変換だからである。

図 9.4　一様な円盤の光源（角直径 $\theta_{\mathrm D}$）からの光の、間隔 $d$ の2点の相関の大きさ（式 (9.18)）。$d=1.22\lambda/\theta_{\mathrm D}$ で最初に $0$ になり、その先は小さな山が続く。