光学と量子エレクトロニクス 第9章 §9.5 ★★ 1つのモードへの縮約（1 / F → 0 1/\mathcal F\to0 1/ F → 0
置いた近似
この章でまず置いた近似は、光を偏光を持たないスカラーの場とし、干渉計の各経路を1つの横モード（平面波）として扱ったことである。ビームスプリッタの反射率が偏光で違う場合や、2本の経路の横モードの形がずれる場合（腕の長さの差でガウスビームの広がりが違う、第4章 ）には、2本の光の重なりの積分が 1 1 1 1 1 1
次に、Fabry–Perot 共振器を1つの減衰するモード (9.8) に縮約した。小さいパラメータは線幅と共鳴の間隔の比 κ / ( 2 π ν F S R ) = 1 / F \kappa/(2\pi\nu_{\mathrm{FSR}})=1/\mathcal F κ / ( 2 π ν FSR ) = 1/ F 9.4 のとおり半値幅の誤差は 1 / F 1/\mathcal F 1/ F ν F S R \nu_{\mathrm{FSR}} ν FSR (9.6) を共鳴のまわりで展開したものなので、平面波の Fabry–Perot ではこの縮約の誤差を直接評価できる。
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの 1 / F = κ / ( 2 π ν F S R ) → 0 1/\mathcal F=\kappa/(2\pi\nu_{\mathrm{FSR}})\to0 1/ F = κ / ( 2 π ν FSR ) → 0 証明 条件付き（孤立した1つの共鳴の近く。平面波の Fabry–Perot では厳密な Airy 関数の展開で誤差が 1 / F 1/\mathcal F 1/ F 行き先 近似の数理 第7章
van Cittert–Zernike の定理 9.3 では、光を準単色とし（小さいパラメータはスペクトルの幅と中心の周波数の比 Δ ν / ν ˉ \Delta\nu/\bar\nu Δ ν / ν ˉ z z z
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの Δ ν / ν ˉ → 0 \Delta\nu/\bar\nu\to0 Δ ν / ν ˉ → 0 → 0 \to0 → 0 証明 条件付き（光源の各点が無相関な定常な場。近軸の展開で ∣ ξ ∣ 2 / ( 2 z ) \lvert \bm{\xi}\rvert ^2/(2z) ∣ ξ ∣ 2 / ( 2 z ) λ z \sqrt{\lambda z} λ z 行き先 近似の数理 第7章
何の実験の量で確かめるか
この章の量はどれも強度の測定から読む。1つ目は縞の可視度で、腕の差を変えながら Michelson 干渉計の縞を記録すれば ∣ g ( 1 ) ( τ ) ∣ \lvert g^{(1)}(\tau)\rvert ∣ g ( 1 ) ( τ )∣ ∣ g 12 ( 1 ) ∣ \lvert g^{(1)}_{12}\rvert ∣ g 12 ( 1 ) ∣
2つ目は共振器の線幅で、周波数を掃いて Airy 関数の幅を測るか、入射光を急に切って透過光の減衰を測る（リングダウン）。式 (9.8) で s i n = 0 s_{\mathrm{in}}=0 s in = 0 ∣ a ∣ 2 ∝ e − κ t \lvert a\rvert ^2\propto\mathrm{e}^{-\kappa t} ∣ a ∣ 2 ∝ e − κ t 1 / κ 1/\kappa 1/ κ
3つ目は星の角直径である。星は遠すぎて望遠鏡でも円盤に見えないが、2点の相関が消える間隔 d 0 = 1.22 λ / θ D d_0=1.22\lambda/\theta_{\mathrm D} d 0 = 1.22 λ / θ D α \alpha α 0.047 0.047 0.047 1 1 A. A. Michelson and F. G. Pease (1921), Astrophysical Journal 53 , 249.
例題 9.8 キャビティリングダウン分光で弱い吸収を測る ★★
オリジナル 長さ L = 0.5 m L=0.5\,\mathrm m L = 0.5 m 1 / e 1/\mathrm{e} 1/ e τ 0 = 33 μ s \tau_0=33\,\mu\mathrm s τ 0 = 33 μ s τ = 30 μ s \tau=30\,\mu\mathrm s τ = 30 μ s
(1) 空の共振器の1往復あたりの損失（透過と吸収の合計）とフィネスを求めよ（第5章の例題 5.6 の読み方を使う）。(2) 気体の吸収係数 α a b s \alpha_{\mathrm{abs}} α abs x x x e − α a b s x \mathrm{e}^{-\alpha_{\mathrm{abs}}x} e − α abs x (3) 鏡の間を1回通るあいだに気体が吸う割合 α a b s L \alpha_{\mathrm{abs}}L α abs L ( 1 / τ − 1 / τ 0 ) τ 0 (1/\tau-1/\tau_0)\tau_0 ( 1/ τ − 1/ τ 0 ) τ 0 F \mathcal F F
解答 (1) 第5章の式 (5.16) の読み方で、1往復の時間 2 L / c = 3.34 n s 2L/c=3.34\,\mathrm{ns} 2 L / c = 3.34 ns 2 L / ( c τ 0 ) = 1.01 × 10 − 4 2L/(c\tau_0)=1.01\times10^{-4} 2 L / ( c τ 0 ) = 1.01 × 1 0 − 4 − ln ( r 1 2 r 2 2 ) -\ln(r_1^2r_2^2) − ln ( r 1 2 r 2 2 ) F ≈ 2 π / ( 1.01 × 10 − 4 ) = 6.22 × 10 4 \mathcal F\approx2\pi/(1.01\times10^{-4})=6.22\times10^4 F ≈ 2 π / ( 1.01 × 1 0 − 4 ) = 6.22 × 1 0 4
(2) 光は気体の中を速さ c c c c α a b s c\alpha_{\mathrm{abs}} c α abs 1 / τ 0 1/\tau_0 1/ τ 0 1 / τ = 1 / τ 0 + c α a b s 1/\tau=1/\tau_0+c\alpha_{\mathrm{abs}} 1/ τ = 1/ τ 0 + c α abs
α a b s = 1 c ( 1 τ − 1 τ 0 ) = 3.03 × 10 3 s − 1 3.00 × 10 8 m / s = 1.01 × 10 − 5 m − 1 \alpha_{\mathrm{abs}}=\frac1c\Bigl(\frac1\tau-\frac1{\tau_0}\Bigr)=\frac{3.03\times10^3\,\mathrm s^{-1}}{3.00\times10^8\,\mathrm{m/s}}=1.01\times10^{-5}\,\mathrm{m^{-1}} α abs = c 1 ( τ 1 − τ 0 1 ) = 3.00 × 1 0 8 m/s 3.03 × 1 0 3 s − 1 = 1.01 × 1 0 − 5 m − 1
である。
(3) 1回通しの吸収は α a b s L = 5.05 × 10 − 6 \alpha_{\mathrm{abs}}L=5.05\times10^{-6} α abs L = 5.05 × 1 0 − 6 10 − 6 10^{-6} 1 0 − 6 ( 1 / τ − 1 / τ 0 ) τ 0 = c α a b s τ 0 = 0.100 (1/\tau-1/\tau_0)\tau_0=c\alpha_{\mathrm{abs}}\tau_0=0.100 ( 1/ τ − 1/ τ 0 ) τ 0 = c α abs τ 0 = 0.100 1 / 10 1/10 1/10
c α a b s τ 0 α a b s L = c τ 0 L = 1.98 × 10 4 , c τ 0 L = 2 2 L / ( c τ 0 ) ≈ 2 2 π / F = F π \frac{c\alpha_{\mathrm{abs}}\tau_0}{\alpha_{\mathrm{abs}}L}=\frac{c\tau_0}{L}=1.98\times10^4,\qquad \frac{c\tau_0}{L}=\frac{2}{2L/(c\tau_0)}\approx\frac{2}{2\pi/\mathcal F}=\frac{\mathcal F}{\pi} α abs L c α abs τ 0 = L c τ 0 = 1.98 × 1 0 4 , L c τ 0 = 2 L / ( c τ 0 ) 2 ≈ 2 π / F 2 = π F
である。光は消えるまでに約 F / ( 2 π ) \mathcal F/(2\pi) F / ( 2 π ) F / π \mathcal F/\pi F / π c τ 0 = 9.89 k m c\tau_0=9.89\,\mathrm{km} c τ 0 = 9.89 km
例題 9.9 ベテルギウスの縞が消える鏡の間隔 ★★
オリジナル 角直径 θ D = 0.047 \theta_{\mathrm D}=0.047 θ D = 0.047 575 n m 575\,\mathrm{nm} 575 nm d 0 d_0 d 0 2.2 μ m 2.2\,\mu\mathrm m 2.2 μ m d 0 d_0 d 0
解答 θ D = 0.047 / 3600 × π / 180 = 2.28 × 10 − 7 r a d \theta_{\mathrm D}=0.047/3600\times\pi/180=2.28\times10^{-7}\,\mathrm{rad} θ D = 0.047/3600 × π /180 = 2.28 × 1 0 − 7 rad d 0 = 1.22 × 575 × 10 − 9 / ( 2.28 × 10 − 7 ) = 3.08 m d_0=1.22\times575\times10^{-9}/(2.28\times10^{-7})=3.08\,\mathrm m d 0 = 1.22 × 575 × 1 0 − 9 / ( 2.28 × 1 0 − 7 ) = 3.08 m d 0 d_0 d 0 11.8 m 11.8\,\mathrm m 11.8 m
1 A. A. Michelson and F. G. Pease (1921), Astrophysical Journal 53 , 249.
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
