授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第9章 §9.6　★★ 学部の光学の Stokes の関係と多重反射の和は、散乱行列のユニタリ性と式 (9.5) の位相の取り方の1つである。コヒーレンス長 $\lambda^2/\Delta\lambda$ は $\tau_{\mathrm c}$ の目安の形

Stokes の関係と Fabry–Perot の式

学部の光学では、薄膜や Fabry–Perot の多重反射を、面の外から入る光の振幅反射率 $r$・透過率 $t$ と、内から入る光の $r'$, $t'$ を使って書き、光線を逆にたどる議論（Stokes の関係）から

$$r'=-r,\qquad tt'=1-r^2$$

を出して使う（$r$ は実数にとる）。この章の言葉では、これは損失の無い素子の散乱行列 $S=\bigl(\begin{smallmatrix}r&t'\\ t&r'\end{smallmatrix}\bigr)$ のユニタリ性の1つの位相の取り方である。実際、$t=t'$ を実数とすると $S^\dagger S=1$ の非対角成分は $rt'+tr'=t(r+r')=0$ を、対角成分は $r^2+t^2=1$ を与え、Stokes の関係と同じになる。命題 9.1 の対称な取り方（$r=r'=\mathrm{i}\sqrt R$）との違いは、面の前後の基準面の位置の違い（反射の位相を $\pm\pi/2$ だけ付け替えること）にすぎない。

授業の Fabry–Perot の式は、屈折率 $n$・厚さ $d$ のエタロンに角度 $\theta$（エタロンの中の屈折角）で入る光について

$$\mathcal T=\frac{1}{1+F\sin^2(\delta/2)},\qquad\delta=\frac{4\pi}{\lambda}nd\cos\theta,\qquad F=\frac{4R}{(1-R)^2}$$

と書かれる。式 (9.6) で $R_1=R_2=R$, $A_i=0$, $\varphi=\delta$ としたものである。$\theta$ による違いのため、広がった光源で照らすと透過光は同心円の縞（等傾角の縞）になる。Michelson 干渉計の同心円の縞も、式 (9.4) の $\varphi$ を $2k(d_1-d_2)\cos\theta$ にしたものである。

分解能とコヒーレンス長

授業では、Fabry–Perot を分光器として使うとき、2本の線は透過の山の半値全幅だけ離れていれば分けられるとして、分解能を

$$\frac{\lambda}{\delta\lambda_{\min}}=m\mathcal F,\qquad m=\frac{2nd}{\lambda}$$

と書く。この章の言葉では、半値全幅が $\nu_{\mathrm{FSR}}/\mathcal F$ で、$\nu/\nu_{\mathrm{FSR}}=m$ が干渉の次数だからである。

コヒーレンス長は授業では $l_{\mathrm c}\approx\lambda^2/\Delta\lambda=c/\Delta\nu$ と書かれることが多い。これは式 (9.13) の定義の $c\tau_{\mathrm c}$ と、$1$ の程度の数（Lorentz 形で $1/\pi$、Gauss 形で $0.664$）だけ違う。目安としてはどちらも同じ物理を表していて、比べるときはスペクトルの形と定義をそろえる必要がある。また、授業で「複素コヒーレンス度 $\gamma(\tau)$」「相互コヒーレンス度 $\mu_{12}$」と呼ぶ量は、この章の $g^{(1)}(\tau)$ と $g^{(1)}_{12}$ である。量子光学の章では強度の相関 $g^{(2)}$ と並べるので、この巻では添字 $(1)$ を付けた名前で通す。