この章のまとめ

(1) 縦モードの間隔は $\Delta\nu=c/(2L_{\mathrm{las}})=500\,\mathrm{MHz}$（$499.65\,\mathrm{MHz}$）。例題 9.5 と同じ計算で $g^{(1)}(\tau)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bar\omega\tau}\cos(\pi\Delta\nu\,\tau)$ なので、可視度は

$$\mathcal V(\Delta\ell)=\Bigl\lvert\cos\Bigl(\frac{\pi\Delta\nu\,\Delta\ell}{c}\Bigr)\Bigr\rvert=\Bigl\lvert\cos\Bigl(\frac{\pi\Delta\ell}{2L_{\mathrm{las}}}\Bigr)\Bigr\rvert .$$

最初に $0$ になるのは $\Delta\ell=L_{\mathrm{las}}=30\,\mathrm{cm}$、$1$ に戻るのは $\Delta\ell=2L_{\mathrm{las}}=60\,\mathrm{cm}$ である。光路差がレーザーの共振器の往復の長さに等しいと、2つのモードの位相差がちょうど $2\pi$ 回って揃う。

(2) フィルタの $\nu_{\mathrm{FSR}}=c/(2L_{\mathrm{FP}})=3.00\,\mathrm{GHz}$ は $\Delta\nu$ のちょうど $6$ 倍なので、もう一方のモードでの往復の位相のずれは $\varphi-2\pi m=2\pi/6$ である。式 (9.6) から条件は $1+F\sin^2(\pi/6)\ge100$、つまり $F\ge396$。$F=4R/(1-R)^2=396$ を $R$ について解くと

$$396R^2-796R+396=0,\qquad R=\frac{796-\sqrt{796^2-4\cdot396^2}}{2\cdot396}=0.9044 .$$

フィネスは $\mathcal F=\pi\sqrt F/2=31.3$（厳密には $\pi/(2\arcsin(1/\sqrt F))=31.2$）、線幅は $\nu_{\mathrm{FSR}}/\mathcal F=95.9\,\mathrm{MHz}$ である。

(3) $\kappa/2\pi=c(1-R)/(2\pi L_{\mathrm{FP}})=91.2\,\mathrm{MHz}$ で、厳密な $95.9\,\mathrm{MHz}$ より $5$ パーセント小さい（例題 9.4 と同じ $1-R$ の桁の差）。もう一方のモードの透過率は Lorentz 形で $1/\bigl(1+(2\cdot2\pi\Delta\nu/\kappa)^2\bigr)=0.83$ パーセントで、厳密な $1.00$ パーセントより小さく出る。Lorentz 形は $\sin^2(x/2)$ を $x^2/4$ で置き換えたもので、$x=2\pi/6$ では $x^2/4=0.274$ が $\sin^2(\pi/6)=0.25$ より大きい。共鳴から $\nu_{\mathrm{FSR}}/6$ 離れると、1つのモードへの縮約で捨てた隣の共鳴の影響（Airy 関数の周期性）が見えてくる。厳密な線幅から決めた $\kappa$ を使っても、透過率は $0.91$ パーセントで $1$ パーセントに届かない。

(4) $\kappa_i=cT_i/(2L_{\mathrm{FP}})$, $\kappa_0=c\cdot2A/(2L_{\mathrm{FP}})$ で、共鳴の透過率 $4\kappa_1\kappa_2/\kappa^2$ を最大にするのは臨界結合 $\kappa_1=\kappa_2+\kappa_0$、すなわち$T_1=T_2+2A=0.100$ である。そのときの共鳴の透過率は $4\kappa_1\kappa_2/(2\kappa_1)^2=T_2/(T_2+2A)=0.900$、反射率は $0$ である。$T_1=T_2=0.090$ では透過率 $4T_2^2/(2T_2+2A)^2=\bigl(T_2/(T_2+A)\bigr)^2=0.898$、反射率 $\bigl((T_1-T_2-2A)/(T_1+T_2+2A)\bigr)^2=2.77\times10^{-3}$ である。透過率は最適な点のまわりで $T_1$ について2次でしか変わらないので、対称な鏡でもほとんど損をしない。反射が $0$ になるのは臨界結合のときだけで、反射の谷を見ると結合が合っているかが分かる。（厳密な Airy 関数の $\mathcal T_{\max}=T_1T_2/(1-\sqrt{R_1R_2})^2$ では、臨界結合で $0.8998$、対称で $0.8975$ になる。）

(5) フィルタを通った光は一方のモードだけで、Lorentz 形の線幅 $\Delta\nu_{\mathrm L}=1\,\mathrm{MHz}$ を持つ。式 (9.15) から可視度は $\lvert g^{(1)}(\tau)\rvert =\mathrm{e}^{-\pi\Delta\nu_{\mathrm L}\tau}$ で、$\tau=0.30\,\mathrm m/c=1.00\,\mathrm{ns}$ では $\mathrm{e}^{-\pi\times10^6\times1.00\times10^{-9}}=0.997$ である。(1) で $0$ だった光路差で、縞がほぼ完全に戻る。フィルタを通った光のスペクトルは、入る光のスペクトルにフィルタの透過率を掛けた $\lvert t(\omega)\rvert ^2S(\omega)$ である。Wiener–Khinchin の定理により $g^{(1)}$ はこのスペクトルの Fourier 変換なので、フィルタの線幅（$96\,\mathrm{MHz}$）がレーザーの線幅（$1\,\mathrm{MHz}$）より十分広ければ、通したモードの形は変わらず、コヒーレンス時間 $\tau_{\mathrm c}=1/(\pi\Delta\nu_{\mathrm L})=0.318\,\mu\mathrm s$ もコヒーレンス長 $95\,\mathrm m$ も変わらない。フィルタは2つのモードの間の干渉（(1) の可視度の周期的な消失）を取り除いただけで、1つのモードの中の位相の揺らぎは取り除かない。