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この章のまとめ

2026年10月15日8分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第2部 第14章 曲率と潮汐力

AI 生成・木下が未勉強

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第14章 §2.14.7　★★★ Riemann テンソル＝共変微分の交換子＝ループのずれ＝測地線偏差の係数。その縮約が体積の縮み方で、Einstein 方程式の左辺の材料になる

この章では、計量の2階微分から作るテンソル RρσμνR^\rho{}_{\sigma\mu\nu} を、共変微分の交換子 [∇μ,∇ν]Vρ=RρσμνVσ[\nabla_\mu,\nabla_\nu]V^\rho=R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma で定義した。小さなループに沿ってベクトルを平行移動して一周させると、向きが −RρσμνVσδa δb-R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma\delta a\,\delta b だけずれる。Christoffel 記号と違い Riemann テンソルは1点で座標を選んでも消えないので、時空が平坦かどうかを判定する量になる。局所慣性系で書くと計量の2階微分の組み合わせで、添字の対称性と第1 Bianchi 恒等式から 4次元の独立な成分は 20 個、そのうち 10 個が Ricci テンソルで決まる。第2 Bianchi 恒等式を縮約すると ∇μGμν=0\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0 が恒等的に成り立つ。

近くを並んで進む2本の測地線の間隔は D2ξρ/dτ2=RρσμνuσuμξνD^2\xi^\rho/\mathrm{d}\tau^2=R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}u^\sigma u^\mu\xi^\nu に従う。弱い場では c2Ri0j0=∂i∂jΦc^2R^i{}_{0j0}=\partial_i\partial_j\Phi で、Newton の潮汐力そのものになり、Schwarzschild 時空でも静止した点の潮汐テンソルは Newton の値に一致した。Riemann テンソルの縮約 RμνuμuνR_{\mu\nu}u^\mu u^\nu は自由落下する雲の体積の縮み方で、弱い場では 4πGρ4\pi G\rho になる。物質の無い所では Rμν=0R_{\mu\nu}=0 だが、Weyl テンソルの部分が残るので潮汐力は 00 にならない。2次元の面では R/2R/2 が Gauss 曲率で、測地円の周の不足から面の中の測量だけで測ることができる。

総合問題　地球をまわる宇宙ステーションとブラックホールの潮汐 ★★★

オリジナル地球の GM⊕=3.986004×1014 m3 s−2GM_\oplus=3.986004\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}1IERS Conventions (2010)（Petit, G. and Luzum, B. (eds.) (2010), IERS Technical Note No. 36）の値。太陽の GM⊙GM_\odot は例題 2.14.3 の脚注と同じ。下の脚注へ、地球の中心からの距離 r=6.771×106 mr=6.771\times10^6\,\mathrm m（平均半径 6371 km6371\,\mathrm{km} の上、高度 400 km400\,\mathrm{km}）の円軌道を、宇宙ステーションが自由落下で周回している。

  1. (1) （使う道具：2.14.3節・第2部第12章の弱い場の計量）静的な弱い場の計量で、Ri0j0R^i{}_{0j0} を Φ/c2\Phi/c^2 の1次で求め、ゆっくり動く粒子の測地線偏差の方程式が ξ¨i=−∑j∂i∂jΦ ξj\ddot\xi^i=-\sum_j\partial_i\partial_j\Phi\,\xi^j になることを示せ。
  2. (2) （使う道具：2.14.3節・2.14.4節・第2部第11章の潮汐力）Φ=−GM⊕/r\Phi=-GM_\oplus/r として、ステーションの位置の潮汐テンソルを地球の中心から外向きの軸で書け。ステーションの中に最初静止して浮かべた小さな水滴の体積は、偏差の2次までの時間で変わるか。
  3. (3) （使う道具：2.14.3節）ステーションの中で、地球の向きに 100 m100\,\mathrm m 離れた2点の潮汐の相対加速度と、軌道に垂直な横向きに 100 m100\,\mathrm m 離れた2点の相対加速度を求めよ。その高度の重力加速度 GM⊕/r2GM_\oplus/r^2 と比べよ。
  4. (4) （使う道具：第2部第12章の円軌道・2.14.3節）円軌道の周期 TT を求め、放射方向の潮汐の相対加速度が 2(2π/T)2ξ2(2\pi/T)^2\xi と周期だけで書けることを示せ。
  5. (5) （使う道具：2.14.3節の Schwarzschild 時空の潮汐・第2部第16章）質量 MM のブラックホールの地平面 rs=2GM/c2r_{\mathrm s}=2GM/c^2 を足から自由落下で通過する身長 2 m2\,\mathrm m の人の、頭と足の潮汐の相対加速度が地表の重力 9.81 m s−29.81\,\mathrm{m\,s^{-2}} に等しくなる MM を、太陽質量を単位として求めよ（c=2.99792458×108 m s−1c=2.99792458\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}）。
解答

(1) g00=1+2Φ/c2g_{00}=1+2\Phi/c^2 から Γi00=−12gii∂ig00=12⋅∂i2Φc2=∂iΦc2\Gamma^i{}_{00}=-\frac12g^{ii}\partial_ig_{00}=\frac12\cdot\partial_i\frac{2\Phi}{c^2}=\frac{\partial_i\Phi}{c^2}（gii≈−1g^{ii}\approx-1）。Φ\Phi は時間によらず、ΓΓ\Gamma\Gamma の項は Φ\Phi の2次なので、Ri0j0=∂jΓi00−∂0Γij0=∂i∂jΦ/c2R^i{}_{0j0}=\partial_j\Gamma^i{}_{00}-\partial_0\Gamma^i{}_{j0}=\partial_i\partial_j\Phi/c^2。uμ≈(c,0,0,0)u^\mu\approx(c,0,0,0) を式 (2.14.13) に入れると、Ri00j=−Ri0j0R^i{}_{00j}=-R^i{}_{0j0} によりξ¨i=c2Ri00jξj=−∑j∂i∂jΦ ξj\ddot\xi^i=c^2R^i{}_{00j}\xi^j=-\sum_j\partial_i\partial_j\Phi\,\xi^j。

(2) 式 (2.14.17) より、外向きを zz として E=GM⊕r3diag(1,1,−2)\mathcal E=\frac{GM_\oplus}{r^3}\mathrm{diag}(1,1,-2)。放射方向に引き伸ばされ、横の2方向に押し縮められる。対角和は 00 なので、式 (2.14.21) より V¨=0\ddot V=0 で、体積は偏差の2次の時間までは変わらない（形だけが放射方向に伸びる）。これは真空で Rμν=0R_{\mu\nu}=0 であることの Newton の形である。

(3) GM⊕/r3=3.986004×1014/(6.771×106)3=1.284×10−6 s−2GM_\oplus/r^3=3.986004\times10^{14}/(6.771\times10^6)^3=1.284\times10^{-6}\,\mathrm s^{-2}。放射方向は 2×1.284×10−6×100=2.57×10−4 m s−22\times1.284\times10^{-6}\times100=2.57\times10^{-4}\,\mathrm{m\,s^{-2}}（離れる向き）、横向きは 1.29×10−4 m s−21.29\times10^{-4}\,\mathrm{m\,s^{-2}}（近づく向き）。その高度の重力加速度は GM⊕/r2=8.69 m s−2GM_\oplus/r^2=8.69\,\mathrm{m\,s^{-2}} で、放射方向の潮汐との比は 2ξ/r=2.95×10−52\xi/r=2.95\times10^{-5} である。ステーションの中で物が浮いているのは重力が無いからでなく、ステーションも物も同じ 8.69 m s−28.69\,\mathrm{m\,s^{-2}} で落ちているからで、残る相対加速度はその 10−510^{-5} 程度になる。

(4) 円軌道の角速度は ω2=GM⊕/r3\omega^2=GM_\oplus/r^3（第2部第12章の総合問題の Kepler の第3法則）なので T=2πr3/GM⊕=5.54×103 sT=2\pi\sqrt{r^3/GM_\oplus}=5.54\times10^3\,\mathrm s（約 92 分）。放射方向の潮汐は 2GM⊕ξ/r3=2ω2ξ=2(2π/T)2ξ2GM_\oplus\xi/r^3=2\omega^2\xi=2(2\pi/T)^2\xi で、T=5.54×103 sT=5.54\times10^3\,\mathrm s、ξ=100 m\xi=100\,\mathrm m を入れると 2.57×10−4 m s−22.57\times10^{-4}\,\mathrm{m\,s^{-2}} になり、(3) と一致する。同じ周期で周回する軌道なら、中心の天体の質量や半径を知らなくても潮汐の大きさが決まる。

(5) 式 (2.14.18) より、放射方向に L=2 mL=2\,\mathrm m 離れた2点の相対加速度は 2GML/rs3=c6L4G2M22GML/r_{\mathrm s}^3=\frac{c^6L}{4G^2M^2} である。これを g=9.81 m s−2g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}} とおくと

GM=c3L4g=(2.998×108)3×24×9.81=6.08×1024 m3 s−2,GM=c^3\sqrt{\frac{L}{4g}}=(2.998\times10^8)^3\times\sqrt{\frac{2}{4\times9.81}}=6.08\times10^{24}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}},

GM⊙=1.3271244×1020 m3 s−2GM_\odot=1.3271244\times10^{20}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}} で割って M=4.58×104M⊙M=4.58\times10^4M_\odot。これより重いブラックホールでは、地平面を通過する人が受ける潮汐の相対加速度は地表の重力より小さい。潮汐は 1/M21/M^2 に比例するので、太陽質量の 10 倍では (3) の値をはるかに超える 2×108 m s−22\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-2}} になる（2.14.3節）。

1　IERS Conventions (2010)（Petit, G. and Luzum, B. (eds.) (2010), IERS Technical Note No. 36）の値。太陽の GM⊙GM_\odot は例題 2.14.3 の脚注と同じ。

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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