開放系・量子情報・量子光学：密度行列と位相空間

(1) 半透明の鏡を通ったあとのモードは $\hat a'=\sqrt\eta\,\hat a+\sqrt{1-\eta}\,\hat b$ で、$\hat b$ は真空にある。直交位相も同じ1次結合になり、$\hat a$ と $\hat b$ の相関は無いので

$$V_x'=\eta V_x+(1-\eta)V_{\mathrm{vac}}=0.9\times0.1V_{\mathrm{vac}}+0.1V_{\mathrm{vac}}=0.19\,V_{\mathrm{vac}},$$

$$V_p'=0.9\times10V_{\mathrm{vac}}+0.1V_{\mathrm{vac}}=9.1\,V_{\mathrm{vac}}$$

になる。$10\log_{10}0.19=-7.21$ なので、10 dB のスクイーズは 10% の損失で $-7.21$ dB まで減る。位相空間では $W$ が Gauss 関数のまま縮んでならされるので、平均（0）と共分散の3つの数だけを追えばよい。この模型は近似を含まない。Lindblad 方程式の振幅減衰で書けば $\eta=\mathrm{e}^{-\Gamma t}$ と置いたものと同じになる。

(2) スクイーズド真空は偶数の光子数だけを持ち、$\tanh r=9/11$（$\mathrm{e}^{-2r}=0.1$）で

$$P(2n)=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\frac{\tanh^{2n}r}{\cosh r}$$

である。光子数 60 までを入れると裾が $10^{-6}$ を下回り、損失のあとは奇数の光子数にも確率が移るので $0,1,\dots,60$ の 61 準位が要る。打ち切った密度行列の実数は $61^2-1=3720$ 個である。

(3) 振幅減衰の Kraus 演算子 $\hat K_k=\sum_{n\ge k}\sqrt{\binom nk}\,\eta^{(n-k)/2}(1-\eta)^{k/2}| n-k \rangle \langle n |$ を、160 準位に打ち切った Fock 基底で $\hat\rho\mapsto\sum_k\hat K_k\hat\rho\hat K_k^\dagger$ と当てると、$\hat x=(\hat a+\hat a^\dagger)/2$ の分散は $0.100000\,V_{\mathrm{vac}}$ から $0.190000\,V_{\mathrm{vac}}$ へ、$\hat p$ の分散は $9.100000\,V_{\mathrm{vac}}$ になり、(1) と一致する。同じ答えを出すのに、位相空間は2行の式、密度行列は数千の成分の行列の計算を要した。Gauss 型の光の問題で位相空間を選ぶ理由はこの手数の差にある。