多体と超流動：第二量子化と流体

2026年10月17日11分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第11部第2章どの問題をどの構成で解くか

第二量子化が最短になる問題
流体が最短になる問題
木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第11部第2章 §11.2.4　★★★ 粒子数が変わる現象と多体の素励起は第二量子化で、凝縮体の流れと渦は流体で短く書け、両者の1次の揺らぎの分散が一致することを音波で確かめる

第二量子化が最短になる問題

同種粒子の多体系では、第二量子化の占有数の基底が対称化（反対称化）した部分空間だけを張るので、基本の対象がはじめから小さい（例題 11.2.1）。さらに、粒子数が変わる過程と、多体の基底状態のまわりの素励起を、生成消滅演算子の2次形式の対角化として同じ手順で扱うことができる。固体のフォノン・マグノン・正孔はこの対角化と真空の取り直しで作られ、Hubbard 模型の $U\hat n_\uparrow\hat n_\downarrow$ は2体の演算子の書き換えで出る（第6部第4章）。熱平衡の Bose 分布・Fermi 分布と Bose–Einstein 凝縮は大正準の状態がモードの積に分かれることから出て（第6部第5章）、自然放出は1励起の部分空間で、弱く相互作用するボース気体は Bogoliubov 変換で解ける（第6部第7章）。

第6部第7章で厳密に解いた3つの模型は、どれも共通例題①②に「粒子数を変える項」を1つ足した変形で、第二量子化が短い手数で済む理由がそろって見える。表 11.2.2 に並べた。

表 11.2.2　共通例題の変形として見た、第二量子化が得意な3つの模型（第6部第7章）

模型	共通例題からの変形	第二量子化での解き方	結果	基準や他の構成で書くと
独立ボソン模型	①の振動子に、局在した準位の占有に比例する1次の力を足す	真空をずらす（変位演算子）だけで厳密に対角化（第6部第7章）	フォノンの数は Poisson 分布 $P_n=\mathrm{e}^{-S}S^n/n!$ 、エネルギーのずれ $E_p=S\hbar\omega_0$	位置表示では Franck–Condon の重なり $\mathrm{e}^{-m\omega x_0^2/4\hbar}$ （同式）。多モードでは多次元の Gauss 積分になる
自然放出	②の2準位を、連続に並んだ光のモードの真空と結ぶ	励起の総数が保存するので、1励起の部分空間に閉じて振幅の方程式を解く（第6部第7章）	$\lvert c_e\rvert ^2=\mathrm{e}^{-\Gamma t}$ 、 $\Gamma=2\pi\sum\kappa^2\delta(\omega_k-\omega_e)$ 、Lorentz 型の線	原子だけを見れば密度行列の振幅減衰 $T_1=1/\Gamma$ （第4部第5章）。光子の側は捨てる
Bogoliubov 理論	①の振動子を、運動量 $\pm k$ の対を作る項で結んだ2モードの組にする	凝縮体を c 数に置き換え、2次形式を Bogoliubov 変換で対角化（第6部第7章）	$E_k=\sqrt{\varepsilon_k(\varepsilon_k+2gn)}$ 、凝縮から外れる粒子の割合	粒子数を決めた波動関数の空間では変換が閉じない。流体では線形化した GP 方程式（第7部第3章）

3つとも、粒子数を変える項が2次以下なので、第二量子化では変位か Bogoliubov 変換か部分空間への制限の1段で解ける。基準の波動関数で同じ問題を書くと、粒子数ごとの空間を行き来する記述を自分で組み立てることになる。

第二量子化の苦手は、相関が強い系で模型は書けても解けないことと、無限体積で Bogoliubov 真空が Fock 空間に入らないことである（第6部第7章）。後者は代数的量子論の非同値な表現の問題で、5節で扱う代数の構成（第8部）へ移る。平均場（Hartree–Fock・Stoner）は第二量子化の中で自然に現れる近似だが、強い相関のもとでは誤った秩序を出すことがある（第6部第4章の総合問題）。

流体が最短になる問題

凝縮体の巨視的波動関数を $\psi=\sqrt n\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ と極形式に書くと、Gross–Pitaevskii 方程式は連続の式と、相互作用の圧力と量子ポテンシャルを含む Euler 方程式になる（第7部第3章）。渦・回転する容器・音速・Landau の臨界速度は流れの言葉の問題なので、流体の構成で書くと速度場 $\bm{v}=\nabla S/m$ から直接読むことができる。循環の量子化 $\oint m\bm{v}\cdot\mathrm{d}\bm{l}\in2\pi\hbar\mathbb{Z}$ は、位相 $S$ が一価であることの帰結として書ける。古典極限も流体の言葉で読みやすい。量子ポテンシャル $Q$ を省くと、位相 $S$ の式が Hamilton–Jacobi 方程式になる（第7部第2章）。

流体の構成の苦手は、配置空間の上の流れなので多粒子では次元が粒子数とともに増えること、スピンを扱いにくいこと、密度が $0$ になる節で速度場が特異になることである（第7部第6章）。Nelson の確率過程と Bohm の軌道は1時刻の分布では基準と一致するが、測定を挟まない多時刻の相関は基準と食い違う（第7部第6章・第7部第4章の例題）。多時刻の相関を求める問題では、流体の構成を選ばず基準へ戻る。講義で挙がる「確率過程量子化」には、Nelson の実時間の拡散のほかに、仮想の時間で Langevin 方程式を走らせて $\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}/\hbar}$ を平衡分布にする Parisi–Wu の方法があり、後者は量子力学の構成でなく経路積分を数値で評価する計算法である。2つの違いは第7部第5章の比較表にまとめた。

凝縮体の1次の揺らぎについては、第二量子化と流体で同じ答えが出る。Bogoliubov 変換の分散と、量子ポテンシャルを残した流体の線形化の分散は、どちらも

$\omega_k=\sqrt{c^2k^2+\Bigl(\frac{\hbar k^2}{2m}\Bigr)^2},\qquad c=\sqrt{\frac{gn}{m}},\qquad\xi=\frac{\hbar}{\sqrt{2mgn}}\tag{11.2.1}$

である（第6部第7章・第7部第3章）。量子ポテンシャルを省いた流体（音波の式 $\omega=ck$ ）がどこまで使えるかは、 $k\xi$ の大きさで決まる（例題 11.2.4）。

例題 11.2.4　音波の式で済む波長と、粒子の言葉が要る波長 ★★

オリジナル式 (11.2.1) の分散について答えよ。

(1) $\omega_k/(ck)$ を $k\xi$ だけで表し、音波の式 $\omega=ck$ との相対的なずれが 1% になる $k\xi$ と、そのときの波長 $\lambda=2\pi/k$ を $\xi$ の倍数で求めよ。
(2) $k\xi\gg1$ で $\hbar\omega_k$ が自由粒子のエネルギーに $gn$ を足したものに近づくことを示し、 $k\xi=5$ での相対的な差を求めよ。
(3) ${}^{87}$ Rb（ $m=86.909\,\mathrm u$ ）の凝縮体で、散乱長 $a_{\mathrm s}=5.0\,\mathrm{nm}$ 、密度 $n=1.0\times10^{20}\,\mathrm{m^{-3}}$ （第7部第3章の例題と同じ値）のとき、 $c$ ・ $\xi$ と (1) の波長を求めよ。

解答

(1) $\hbar k^2/(2m)$ を $ck$ で割ると $\hbar k/(2mc)=\hbar k/(2\sqrt{mgn})=k\xi/\sqrt2$ なので

$\frac{\omega_k}{ck}=\sqrt{1+\frac{(k\xi)^2}{2}}$

である。これが $1/0.99$ になる条件は $(k\xi)^2/2=1/0.99^2-1=0.0203$ で、 $k\xi=0.2015$ 、 $\lambda=2\pi\xi/0.2015=31.2\,\xi$ を得る。癒し長の 30 倍ほどより長い波長では、量子ポテンシャルを省いた流体の音波の式を 1% の精度で使うことができる。

(2) $c/\xi$ を角周波数の単位にとると $\omega_k=\sqrt{(k\xi)^2+(k\xi)^4/2}$ 、自由粒子に $gn$ を足したものは $(\hbar^2k^2/2m+gn)/\hbar=((k\xi)^2+1)/\sqrt2$ になる。 $k\xi\gg1$ で根号を展開すると $\omega_k=\frac{(k\xi)^2}{\sqrt2}\sqrt{1+2/(k\xi)^2}\approx\frac{(k\xi)^2+1}{\sqrt2}$ となり、両者は一致する。 $k\xi=5$ では $\omega_k=\sqrt{337.5}=18.371$ 、近似は $26/\sqrt2=18.385$ で、相対的な差は $7\times10^{-4}$ である。短い波長の励起は、凝縮体の平均の場 $gn$ の中を走る1個の粒子として読むのが自然で、第二量子化の Bogoliubov の準粒子の言葉をそのまま使うことができる。

(3) $g=4\pi\hbar^2a_{\mathrm s}/m=4.84\times10^{-51}\,\mathrm{J\,m^3}$ から $c=\sqrt{gn/m}=1.83\,\mathrm{mm/s}$ 、 $\xi=\hbar/\sqrt{2mgn}=1/\sqrt{8\pi a_{\mathrm s}n}=0.282\,\mu\mathrm m$ である。音波の式が 1% で使える波長は $31.2\xi=8.80\,\mu\mathrm m$ より長い範囲で、凝縮体の大きさ（数十 $\mu\mathrm m$ ）の桁の振動は流体で、 $\xi$ の桁の励起は Bogoliubov の分散で扱う。2つの構成は式 (11.2.1) の同じ分散の別の極限を受け持つ（図 11.2.3）。

図 11.2.3　凝縮体の励起の分散。点線は Bogoliubov の分散（量子ポテンシャルを残した流体の線形化と同じ）、実線は2つの極限の近似で、 $k\xi\ll1$ の音波（量子ポテンシャルを省いた流体）と $k\xi\gg1$ の自由粒子に $gn$ を足したもの

近似の裏付け

型 B（極限）　｜　小さいもの $N\to\infty$ 、 $Na_{\mathrm s}$ 一定（凝縮体の平均場と、そのまわりの2次の揺らぎ）。音波の式はさらに $k\xi\to0$ 　｜　証明条件付き（斥力で短距離の相互作用。基底状態・時間発展・励起の分散について証明された範囲は第7部第3章と第6部第7章の札に書いた。 $k\xi\to0$ の極限は分散の式の中で厳密に評価できる）　｜　行き先 近似の数理第6章

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下智貴

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