答えが定義や起源である問い：代数・再構成・幾何学的量子化

(1) $H$ は全部のスピンを裏返す変換 $\sigma_i\to-\sigma_i$ で変わらないので、Gibbs の重みは $M$ と $-M$ で等しく、$\langle m \rangle =\sum_MMw(M)/N=0$ である。有限の系の熱平衡は、どの温度でも磁化を持たない。

(2) 和 $M$ の値ごとに状態の数 $\binom{N}{(N+M)/2}$ を数えると、Gibbs の重みは $w(M)\propto\binom{N}{(N+M)/2}\mathrm{e}^{\beta JM^2/(2N)}$ で、和は $N+1$ 項で済む。数値で $\sqrt{\langle m^2 \rangle }=0.8030\ (N=10)$、$0.8512\ (N=100)$、$0.8579\ (N=1000)$、$0.8585\ (N=10^4)$ を得る。平均場の式の正の解は $m_0=0.8586$ で、差 $m_0-\sqrt{\langle m^2 \rangle }$ は $N$ を10倍にするとほぼ 1/10 になる。

(3) Stirling の公式で $\frac1N\ln\binom{N}{N(1+m)/2}\to s(m)=-\frac{1+m}2\ln\frac{1+m}2-\frac{1-m}2\ln\frac{1-m}2$ なので、$w\propto\mathrm{e}^{Nf(m)}$、$f(m)=\beta Jm^2/2+s(m)$ と書ける。$f'(m)=\beta Jm-\operatorname{artanh}m$ だから停留点は $m=\tanh(\beta Jm)$ を満たし、$\beta J>1$ では $m=\pm m_0$ の2つが最大で、$f''(\pm m_0)=\beta J-1/(1-m_0^2)=-2.30<0$ なので非退化である。$N\to\infty$ で $m$ の分布は $\pm m_0$ に等しい重みで集まり、$\langle m^2 \rangle \to m_0^2$、$\langle m \rangle =0$ のままになる。

代数の言葉では、$N\to\infty$ の Gibbs 状態の極限は2つの純粋な相 $\omega_\pm$（磁化 $\pm m_0$）の等しい重みの混合 $\frac12(\omega_++\omega_-)$ である（第8部第4章の例題）。「対称性が破れている」とは、熱平衡が混合で、その端点の純粋な相が対称性で互いに移り合うことを言う。有限の $N$ の数値から $m_0$ の値は読めるが、破れの定義は無限系の状態の言葉でしか書くことができない。値は平均場、定義は代数、という分担がこの例題に現れている。