橋：行き詰まったら橋を渡る

(1) 極座標で $u=\lvert \alpha\rvert ^2$ と置くと $\mathrm{d}^2\alpha=\pi\,\mathrm{d} u$（角度の積分で $2\pi$、$r\,\mathrm{d} r=\mathrm{d} u/2$）なので、

$$F_W(R)=\int_0^{R^2}2(4u-1)\mathrm{e}^{-2u}\,\mathrm{d} u=1-(1+4R^2)\mathrm{e}^{-2R^2},$$

$$F_Q(R)=\int_0^{R^2}u\mathrm{e}^{-u}\,\mathrm{d} u=1-(1+R^2)\mathrm{e}^{-R^2}$$

である。1つ目の原始関数は $-(4u+1)\mathrm{e}^{-2u}$ で、微分すると $(8u-2)\mathrm{e}^{-2u}$ に戻る。$R\to\infty$ でどちらも $1$ になる。

(2) $F_W'(R)=-4R(1-4R^2)\mathrm{e}^{-2R^2}$ は $R=\frac12$ で $0$ になり、そこで最小である。$F_W(\frac12)=1-2\mathrm{e}^{-1/2}=-0.2131$ で、円板の上の $W$ の積分は負になる。同じ円板で $F_Q(\frac12)=1-\frac54\mathrm{e}^{-1/4}=0.0265$ は正である。$R=\frac12$ は $W_1$ が負の値をとる領域 $4\lvert \alpha\rvert ^2<1$ の境界そのもので、負の領域を丸ごと積分すると最も負になる。

(3) $Q(\alpha)$ はヘテロダイン検出（2つの直交位相を同時に測る測定）で結果が $\alpha$ の近くに出る確率の密度で、$F_Q(R)$ は結果が円板に入る確率そのものである（第5部第6章）。$Q=W*G_{1/2}$ は $W$ を幅 $\frac12$ の Gauss 関数でならしたもので（第5部第6章）、ならしたために負の値が消え、測定の確率として読めるようになった。表 11.2.3 の5行目「$W$ の負の値が確率として読めない → Gauss 関数でならす」に当たる。ならすことで原点の情報が失われる（$Q_1(0)=0$ は $W_1(0)<0$ を区別しない）ので、非古典性を見たい問題では $W$ に、測定の確率を見たい問題では $Q$ に、という使い分けになる。