束縛状態のスペクトルと伝播：行列力学と経路積分

(1) $\hat x^4$ は $\hat a,\hat a^\dagger$ の4次式なので、行列は対角から4つ以内の帯行列になる。$N=400$ で対角化した値（$N=300$ と $10^{-10}$ まで一致する）を基準にとると、$E_0=0.42080$、$E_2=2.95880$、$E_5=8.42845$、$E_{10}=19.94421$ である。$N=20$ では相対誤差が $E_0$ で $1.1\times10^{-7}$、$E_2$ で $3.3\times10^{-6}$、$E_5$ で $1.5\times10^{-3}$、$E_{10}$ で $1.9\times10^{-2}$ になる。相対誤差を $10^{-6}$ 未満にするのに要る基底の数は、$n=0,2,5,10$ でそれぞれ $N=18,22,31,48$ である。

(2) 転回点 $\pm a$（$a^4/4=E$）のあいだで $p=\sqrt{2E-x^4/2}$ を積分する。$x=au$ と置くと $a=(4E)^{1/4}$ で、

$$\oint p\,\mathrm{d} x=2\int_{-a}^{a}\sqrt{2E-\tfrac{x^4}{2}}\,\mathrm{d} x=2\sqrt{2E}\,a\int_{-1}^{1}\sqrt{1-u^4}\,\mathrm{d} u=4IE^{3/4},$$

$$I=\int_{-1}^{1}\sqrt{1-u^4}\,\mathrm{d} u=\frac{\Gamma(\frac14)\Gamma(\frac32)}{2\Gamma(\frac74)}=1.74804$$

になる。これを $2\pi(n+\frac12)$ と等しいと置いて

$$E_n^{\mathrm{BS}}=\Bigl(\frac{\pi(n+\frac12)}{2I}\Bigr)^{4/3}$$

を得る。$E_0^{\mathrm{BS}}=0.3441$ で相対誤差は $0.182$、$E_2$ で $5.6\times10^{-3}$、$E_5$ で $1.16\times10^{-3}$、$E_{10}$ で $3.2\times10^{-4}$ である。どの準位でも $E_n^{\mathrm{BS}}<E_n$ で、相対誤差に $(n+\frac12)^2$ を掛けると $n\ge4$ で $0.035$ にほぼ一定になる。

(3) $n\le4$ では打ち切りの誤差が小さく、$n\ge6$ では Bohr–Sommerfeld の誤差が小さい（図 11.2.2）。打ち切りの誤差は、固有関数を調和振動子の最初の $N$ 個の関数でどれだけ近似できるかで決まる（Céa の補題）。準位が上がると固有関数が広がって節が増え、近似に要る基底の数が増える。Bohr–Sommerfeld の誤差は停留位相の次の項から出る $\hbar^2$ の補正で、作用 $\oint p\,\mathrm{d} x\approx2\pi\hbar n$ に比べた相対の大きさが $1/n^2$ の桁になる。低い準位は行列力学、高い準位は経路積分の停留位相、という分担はこの2つの誤差の出どころの違いによる。