出てくるもの (2)：量子熱機関

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第4部 第8章 §4.8.4　★★★ 2準位の Otto サイクルの効率は $1-\omega_{\mathrm c}/\omega_{\mathrm h}$。1サイクルのエントロピー生成は2つの熱状態の $D$ を両向きに足したもので、Carnot の効率との差を決める

2準位の Otto サイクル

作業物質を間隔の変えられる量子ビット $\hat H(\omega)=\hbar\omega| 1 \rangle \langle 1 |$ とし、温度 $T_{\mathrm h}$ の高温の熱浴と $T_{\mathrm c}$ の低温の熱浴の間で次の4つの行程を回す。

1. A. 間隔 $\omega_{\mathrm h}$ で高温の熱浴に接し、熱状態（励起確率 $p_{\mathrm h}\coloneqq p_1(x_{\mathrm h})$、$x_{\mathrm h}=\hbar\omega_{\mathrm h}/ k_{\mathrm B} T_{\mathrm h}$）まで緩和させる。
2. B. 熱浴から離し、間隔を $\omega_{\mathrm h}$ から $\omega_{\mathrm c}$ へ変える。
3. C. 間隔 $\omega_{\mathrm c}$ で低温の熱浴に接し、熱状態（励起確率 $p_{\mathrm c}\coloneqq p_1(x_{\mathrm c})$、$x_{\mathrm c}=\hbar\omega_{\mathrm c}/ k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}$）まで緩和させる。
4. D. 熱浴から離し、間隔を $\omega_{\mathrm c}$ から $\omega_{\mathrm h}$ へ戻す。

行程 B と D では $\hat H(t)$ がどの時刻でも互いに可換なので、状態は $| 0 \rangle \langle 0 |$ と $| 1 \rangle \langle 1 |$ の重みのまま動かず、占有数が保たれる（断熱定理を使う必要がない）。式 (4.8.1) により、熱は行程 A と C だけで出入りし、仕事は B と D だけで出入りする。1サイクルで高温の熱浴から受け取る熱、低温の熱浴から受け取る熱、取り出す仕事は

$$Q_{\mathrm h}=\hbar\omega_{\mathrm h}(p_{\mathrm h}-p_{\mathrm c}),\qquad Q_{\mathrm c}=-\hbar\omega_{\mathrm c}(p_{\mathrm h}-p_{\mathrm c}),\qquad -W=Q_{\mathrm h}+Q_{\mathrm c}=\hbar(\omega_{\mathrm h}-\omega_{\mathrm c})(p_{\mathrm h}-p_{\mathrm c})\tag{4.8.15}$$

である。熱機関として働く（$-W>0$、$\omega_{\mathrm h}>\omega_{\mathrm c}$）には $p_{\mathrm h}>p_{\mathrm c}$、すなわち $x_{\mathrm h}<x_{\mathrm c}$ が要る。効率は

$$\eta=\frac{-W}{Q_{\mathrm h}}=1-\frac{\omega_{\mathrm c}}{\omega_{\mathrm h}}\tag{4.8.16}$$

で、温度によらず間隔の比だけで決まる。条件 $x_{\mathrm h}<x_{\mathrm c}$ は $\omega_{\mathrm c}/\omega_{\mathrm h}>T_{\mathrm c}/T_{\mathrm h}$ と同じなので、働いている限り $\eta<\eta_{\mathrm C}\coloneqq1-T_{\mathrm c}/T_{\mathrm h}$ である。量子の系を熱機関とみなす考えは Scovil と Schulz-DuBois の3準位のメーザーにさかのぼり、彼らも効率が準位の間隔の比で決まり Carnot の効率を超えないことを示した¹1H. E. D. Scovil, E. O. Schulz-DuBois (1959), Phys. Rev. Lett. 2, 262.下の脚注へ閉じる。

1サイクルのエントロピー生成は $D$ の両向きの和

行程 A では、行程 D の終わりの状態（占有数は $p_{\mathrm c}$ のまま、Hamiltonian は $\hat H(\omega_{\mathrm h})$）が高温の熱状態へ完全に緩和する。第2節の最後に見たとおり、完全な緩和1回のエントロピー生成は緩和の前の状態と熱状態の $D$ である。行程 C も同じで、合わせると

$$\Sigma_{\mathrm{cyc}}=-\frac{Q_{\mathrm h}}{ k_{\mathrm B} T_{\mathrm h}}-\frac{Q_{\mathrm c}}{ k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}}=D(p_{\mathrm c}\,\|\,p_{\mathrm h})+D(p_{\mathrm h}\,\|\,p_{\mathrm c})=(x_{\mathrm c}-x_{\mathrm h})(p_{\mathrm h}-p_{\mathrm c})\tag{4.8.17}$$

となる。ここで $p_{\mathrm h}$ は2値の分布 $(1-p_{\mathrm h},p_{\mathrm h})$ を表す。$D$ の両向きの和（Jeffreys のダイバージェンス）は2つの熱状態が等しいときだけ $0$ である。最後の形は $\ln\frac{p_{\mathrm h}}{1-p_{\mathrm h}}=-x_{\mathrm h}$ を使って直接確かめられる。系は1サイクルで元に戻るので、$\Sigma_{\mathrm{cyc}}$ は2つの熱浴のエントロピーの増えの和である。第一法則 $-W=Q_{\mathrm h}+Q_{\mathrm c}$ から $Q_{\mathrm c}$ を消すと、効率と Carnot の効率の差は

$$\eta_{\mathrm C}-\eta=\frac{ k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}\,\Sigma_{\mathrm{cyc}}}{Q_{\mathrm h}}\tag{4.8.18}$$

で、エントロピー生成で正確に決まる。この式は作業物質の中身によらず、2つの熱浴の間の周期的な機関すべてで成り立つ。仕事を最大にする間隔の比は Carnot の効率の点（$\Sigma=0$ だが仕事も $0$）と $\omega_{\mathrm c}=\omega_{\mathrm h}$ の点（仕事 $0$）の間にあり、そこでは $\Sigma_{\mathrm{cyc}}>0$ である（図 4.8.2）。仕事を取り出すことと、エントロピー生成を $0$ にすることは両立しない。有限の時間での両者の兼ね合いは 第4部第6章 の主題である。

量子摩擦：コヒーレンスの分のエントロピー生成

行程 B・D で Hamiltonian の固有基底が回る場合（たとえば磁場の大きさだけでなく向きも変える場合）には、異なる時刻の $\hat H(t)$ が可換でなくなる。このとき行程を短い時間で行うと、状態は新しい Hamiltonian の固有基底で対角でなくなる。次の熱浴との接触で生じるエントロピー生成は緩和の前の状態と熱状態の $D$ で、式 (4.8.4) によりそこにコヒーレンスの分が加わる。行程をゆっくり行えば断熱定理によりこの分は小さくなるが、サイクルの時間が延びる。この余分なエントロピー生成は量子摩擦と呼ばれ、2準位の作業物質で古典の Otto サイクルに無い損失の1つである。

1　H. E. D. Scovil, E. O. Schulz-DuBois (1959), Phys. Rev. Lett. 2, 262.