出てくるもの (3)：熱力学の資源理論の入口

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第4部 第8章 §4.8.5　★★ 熱的操作で自由に使えるのは熱状態とエネルギーを保つユニタリ。1回きりの仕事の上限は $D_0$、作るコストは $D_\infty$、多数回の平均で $D$ に揃う。コヒーレンスの分は単独では仕事にならない

熱的操作

第2節の式 (4.8.7) で、熱浴 B の大きさと $\hat U$（全体のエネルギーを保つもの）を自由に選んでよいとした操作を熱的操作と呼ぶ。熱力学の資源理論は、熱的操作を「ただで行える操作」、熱状態を「ただで手に入る状態」とみなし、熱状態でない状態を資源として、どの状態からどの状態へ移れるか、仕事をどれだけ取り出せるかを問う¹1M. Horodecki, J. Oppenheim (2013), Nature Commun. 4, 2059; F. G. S. L. Brandão, M. Horodecki, J. Oppenheim, J. M. Renes, R. W. Spekkens (2013), Phys. Rev. Lett. 111, 250404.下の脚注へ閉じる。熱的操作には2つの性質がある。

第一に、熱状態を動かさない（第2節）。したがって、データ処理不等式を満たすすべての量は熱的操作で増えない。$D(\hat\rho\,\|\,\hat\rho_\beta)$ はその1つで、他に Rényi の相対エントロピー $D_\alpha(p\,\|\,q)\coloneqq\frac{1}{\alpha-1}\ln\sum_ip_i^\alpha q_i^{1-\alpha}$（エネルギーの基底で対角な状態のとき）の族がある。$\alpha\to1$ で $D$ に戻り、$\alpha$ について増える関数で、両端は

$$D_0(p\,\|\,q)=-\ln\sum_{i:\,p_i>0}q_i,\qquad D_\infty(p\,\|\,q)=\ln\max_i\frac{p_i}{q_i}\tag{4.8.19}$$

である。Brandão らは、この族のすべてが増えないことが、熱的操作での状態の移り変わりの必要条件になることを示した²2F. G. S. L. Brandão, M. Horodecki, N. H. Y. Ng, J. Oppenheim, S. Wehner (2015), Proc. Natl. Acad. Sci. USA 112, 3275.下の脚注へ閉じる。マクロな熱力学では自由エネルギー1つが移り変わりを決めたが、1個の量子の系では「第二法則」が無数に並ぶ。

第二に、熱的操作は時間の並進と可換である。$\hat V_t=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H_{\mathrm S}t/\hbar}$ とすると、$\hat U$ が全体の Hamiltonian と可換で $\hat\rho_{\mathrm B}^\beta$ が $\hat H_{\mathrm B}$ と可換なことから$\mathcal N_{\mathrm{th}}(\hat V_t\hat\rho\hat V_t^\dagger)=\hat V_t\mathcal N_{\mathrm{th}}(\hat\rho)\hat V_t^\dagger$ が成り立つ。これを $t$ について平均すると、エネルギーの縮退が無いとき $\mathcal N_{\mathrm{th}}\circ\Delta_{\mathcal B}=\Delta_{\mathcal B}\circ\mathcal N_{\mathrm{th}}$ を得る。対角の状態からは対角の状態しか出てこないので、熱的操作はエネルギーの重ね合わせを作れない。

1回きりの仕事の上限は $D_0$

仕事を蓄える装置として、間隔 $w$ の量子ビット W（バッテリー）を系に添える。熱的操作で $\hat\rho_{\mathrm S}\otimes| 0 \rangle \langle 0 |_{\mathrm W}\to\hat\sigma_{\mathrm S}\otimes| w \rangle \langle w |_{\mathrm W}$ ができれば、仕事 $w$ を確実に（確率1で）取り出したことになる。占有数 $p$ の対角の状態から取り出せる $w$ には次の上限がある。

Horodecki と Oppenheim は、対角の状態ではこの上限に届くこと、逆に熱状態から状態 $p$ を作るのに要る仕事が $k_{\mathrm B} T\,D_\infty(p\,\|\,\gamma)$ であることを示した。$D_0\le D\le D_\infty$ なので、1個の系では取り出せる仕事と作るのに要る仕事が食い違い、移り変わりは可逆でない。同じ状態を $n$ 個並べると、1個あたりの取り出せる仕事と作るコストはどちらも $k_{\mathrm B} T\,D(p\,\|\,\gamma)$ に近づく（Brandão ほか 2013）。これは 第1部第8章 で見た大偏差の考え方と同じ構造で、多数の複製では典型的な系列だけが残り、$D$ だけが意味を持つ。

対角の状態どうしの移り変わりには、図で判定できる必要十分条件がある。$p_i/\gamma_i$ の大きい順に準位を並べ、点 $(\sum_{j\le i}\gamma_j,\sum_{j\le i}p_j)$ を結んだ折れ線を $p$ の熱的 Lorenz 曲線と呼ぶ。熱的操作で $p\to q$ ができるのは、$p$ の曲線がどこでも $q$ の曲線より上（または同じ）にあるときに限る（熱的多数化。Horodecki–Oppenheim 2013）。熱状態の曲線は対角線で、どの状態の曲線もその上にある。$D_0$ は曲線が高さ $1$ に届く横座標の $-\ln$、$D_\infty$ は最初の線分の傾きの $\ln$ として図から読める。

図 4.8.3　$\beta\hbar\omega=1$ の量子ビットの熱的 Lorenz 曲線。熱状態（対角線）・最大混合 $(\frac12,\frac12)$（実線）・基底状態（破線）。基底状態の曲線は最大混合の曲線より上にあるので、基底状態から最大混合へは熱的操作で移れるが、逆はできない。最大混合の曲線は横座標 $1$ でやっと高さ $1$ に届くので $D_0=0$

コヒーレンスの分は単独では仕事にならない

第1節の式 (4.8.4) で、$D$ は占有数の分とコヒーレンスの分に分かれた。熱的操作では、コヒーレンスの分を仕事に変えることができない。実際、$\hat\rho\otimes| 0 \rangle \langle 0 |_{\mathrm W}$ から対角の目標 $\hat\sigma\otimes| w \rangle \langle w |_{\mathrm W}$ が作れたとすると、熱的操作は $\Delta_{\mathcal B}$ と可換なので、同じ操作を $\Delta_{\mathcal B}(\hat\rho)\otimes| 0 \rangle \langle 0 |_{\mathrm W}$ に当てると $\Delta_{\mathcal B}(\hat\sigma\otimes| w \rangle \langle w |)=\hat\sigma\otimes| w \rangle \langle w |$ が出る。したがって $\hat\rho$ から確実に取り出せる仕事は、非対角を落とした $\Delta_{\mathcal B}(\hat\rho)$ から取り出せる仕事を超えない。コヒーレンスの分を使うには、外から位相の基準となるコヒーレントな駆動（レーザーや古典的な場）を持ち込む必要がある。Brandão らの 2013 年の結果でも、$n$ 個の複製から $k_{\mathrm B} T\,D$ を取り出すには、$n$ に比べて少ない量のエネルギーの重ね合わせを外から借りることが前提になっている。