相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第4部 第8章 §4.8.2 ★★★ 系と熱浴をユニタリで動かすと、エントロピー生成は相関の分と熱浴のずれの分の和で、それは1つの D D D D ( ρ ^ S ∥ ρ ^ β ) D(\hat\rho_{\mathrm S}\,\|\,\hat\rho_\beta) D ( ρ ^ S ∥ ρ ^ β )
系と熱浴をまとめて動かす
系 S と熱浴 B を考える。初めの状態は積 ρ ^ S ⊗ ρ ^ B β \hat\rho_{\mathrm S}\otimes\hat\rho_{\mathrm B}^\beta ρ ^ S ⊗ ρ ^ B β H ^ B \hat H_{\mathrm B} H ^ B ρ ^ B β = e − β H ^ B / Z B \hat\rho_{\mathrm B}^\beta=\mathrm{e}^{-\beta\hat H_{\mathrm B}}/Z_{\mathrm B} ρ ^ B β = e − β H ^ B / Z B U ^ \hat U U ^ ρ ^ S B ′ = U ^ ( ρ ^ S ⊗ ρ ^ B β ) U ^ † \hat\rho'_{\mathrm{SB}}=\hat U(\hat\rho_{\mathrm S}\otimes\hat\rho_{\mathrm B}^\beta)\hat U^\dagger ρ ^ SB ′ = U ^ ( ρ ^ S ⊗ ρ ^ B β ) U ^ † ρ ^ S ′ = Tr B ρ ^ S B ′ \hat\rho'_{\mathrm S}=\operatorname{Tr}_{\mathrm B}\hat\rho'_{\mathrm{SB}} ρ ^ S ′ = Tr B ρ ^ SB ′ ρ ^ B ′ = Tr S ρ ^ S B ′ \hat\rho'_{\mathrm B}=\operatorname{Tr}_{\mathrm S}\hat\rho'_{\mathrm{SB}} ρ ^ B ′ = Tr S ρ ^ SB ′ Q ≔ − Tr [ ( ρ ^ B ′ − ρ ^ B β ) H ^ B ] Q\coloneqq-\operatorname{Tr}\bigl[(\hat\rho'_{\mathrm B}-\hat\rho_{\mathrm B}^\beta)\hat H_{\mathrm B}\bigr] Q : = − Tr [ ( ρ ^ B ′ − ρ ^ B β ) H ^ B ]
古典の系と熱浴では、第2部第4章の定理 2.4.7 で同じ分解 Σ = I ( S ; B ) + D ( ρ B ∥ ρ B c a n ) \Sigma=I(S;B)+D(\rho_B\,\|\,\rho_B^{\mathrm{can}}) Σ = I ( S ; B ) + D ( ρ B ∥ ρ B can )
定理 4.8.2（エントロピー生成は相関と熱浴のずれ ★★★）
系のエントロピーの変化を Δ S S = S ( ρ ^ S ′ ) − S ( ρ ^ S ) \Delta S_{\mathrm S}=S(\hat\rho'_{\mathrm S})-S(\hat\rho_{\mathrm S}) Δ S S = S ( ρ ^ S ′ ) − S ( ρ ^ S ) Σ ≔ Δ S S − β Q \Sigma\coloneqq\Delta S_{\mathrm S}-\beta Q Σ : = Δ S S − β Q
Σ = I ( S ; B ) ρ ′ + D ( ρ ^ B ′ ∥ ρ ^ B β ) = D ( ρ ^ S B ′ ∥ ρ ^ S ′ ⊗ ρ ^ B β ) ≥ 0 (4.8.6) \Sigma=I(\mathrm S;\mathrm B)_{\rho'}+D(\hat\rho'_{\mathrm B}\,\|\,\hat\rho_{\mathrm B}^\beta)=D\bigl(\hat\rho'_{\mathrm{SB}}\,\big\|\,\hat\rho'_{\mathrm S}\otimes\hat\rho_{\mathrm B}^\beta\bigr)\ge0\tag{4.8.6} Σ = I ( S ; B ) ρ ′ + D ( ρ ^ B ′ ∥ ρ ^ B β ) = D ( ρ ^ SB ′ ρ ^ S ′ ⊗ ρ ^ B β ) ≥ 0 ( 4.8.6 )
が成り立つ。I ( S ; B ) ρ ′ = S ( ρ ^ S ′ ) + S ( ρ ^ B ′ ) − S ( ρ ^ S B ′ ) I(\mathrm S;\mathrm B)_{\rho'}=S(\hat\rho'_{\mathrm S})+S(\hat\rho'_{\mathrm B})-S(\hat\rho'_{\mathrm{SB}}) I ( S ; B ) ρ ′ = S ( ρ ^ S ′ ) + S ( ρ ^ B ′ ) − S ( ρ ^ SB ′ )
証明 ユニタリはエントロピーを変えないので S ( ρ ^ S B ′ ) = S ( ρ ^ S ) + S ( ρ ^ B β ) S(\hat\rho'_{\mathrm{SB}})=S(\hat\rho_{\mathrm S})+S(\hat\rho_{\mathrm B}^\beta) S ( ρ ^ SB ′ ) = S ( ρ ^ S ) + S ( ρ ^ B β ) Δ S S + Δ S B = I ( S ; B ) ρ ′ \Delta S_{\mathrm S}+\Delta S_{\mathrm B}=I(\mathrm S;\mathrm B)_{\rho'} Δ S S + Δ S B = I ( S ; B ) ρ ′ ln ρ ^ B β = − β H ^ B − ln Z B \ln\hat\rho^\beta_{\mathrm B}=-\beta\hat H_{\mathrm B}-\ln Z_{\mathrm B} ln ρ ^ B β = − β H ^ B − ln Z B D ( ρ ^ B ′ ∥ ρ ^ B β ) = − S ( ρ ^ B ′ ) + β Tr ρ ^ B ′ H ^ B + ln Z B D(\hat\rho'_{\mathrm B}\,\|\,\hat\rho^\beta_{\mathrm B})=-S(\hat\rho'_{\mathrm B})+\beta\operatorname{Tr}\hat\rho'_{\mathrm B}\hat H_{\mathrm B}+\ln Z_{\mathrm B} D ( ρ ^ B ′ ∥ ρ ^ B β ) = − S ( ρ ^ B ′ ) + β Tr ρ ^ B ′ H ^ B + ln Z B ρ ^ B β \hat\rho_{\mathrm B}^\beta ρ ^ B β 0 0 0 D ( ρ ^ B ′ ∥ ρ ^ B β ) = − Δ S B − β Q D(\hat\rho'_{\mathrm B}\,\|\,\hat\rho^\beta_{\mathrm B})=-\Delta S_{\mathrm B}-\beta Q D ( ρ ^ B ′ ∥ ρ ^ B β ) = − Δ S B − β Q Δ S B \Delta S_{\mathrm B} Δ S B − Tr ρ ^ S B ′ ln ( ρ ^ S ′ ⊗ ρ ^ B β ) = S ( ρ ^ S ′ ) + S ( ρ ^ B ′ ) + D ( ρ ^ B ′ ∥ ρ ^ B β ) -\operatorname{Tr}\hat\rho'_{\mathrm{SB}}\ln(\hat\rho'_{\mathrm S}\otimes\hat\rho^\beta_{\mathrm B})=S(\hat\rho'_{\mathrm S})+S(\hat\rho'_{\mathrm B})+D(\hat\rho'_{\mathrm B}\,\|\,\hat\rho^\beta_{\mathrm B}) − Tr ρ ^ SB ′ ln ( ρ ^ S ′ ⊗ ρ ^ B β ) = S ( ρ ^ S ′ ) + S ( ρ ^ B ′ ) + D ( ρ ^ B ′ ∥ ρ ^ B β ) D D D
この恒等式は Esposito・Lindenberg・Van den Broeck が古典と量子の両方で示したもので1 1 M. Esposito, K. Lindenberg, C. Van den Broeck (2010), New J. Phys. 12 , 013013.Σ ≥ 0 \Sigma\ge0 Σ ≥ 0 I I I D ( ρ ^ B ′ ∥ ρ ^ B β ) D(\hat\rho'_{\mathrm B}\,\|\,\hat\rho_{\mathrm B}^\beta) D ( ρ ^ B ′ ∥ ρ ^ B β ) ρ ^ S ′ ⊗ ρ ^ B β \hat\rho'_{\mathrm S}\otimes\hat\rho^\beta_{\mathrm B} ρ ^ S ′ ⊗ ρ ^ B β
エネルギーを保つ相互作用は D D D
外から仕事をせず、全体のエネルギーを保つユニタリ（[ U ^ , H ^ S + H ^ B ] = 0 \left[\hat U,\,\hat H_{\mathrm S}+\hat H_{\mathrm B}\right]=0 [ U ^ , H ^ S + H ^ B ] = 0
N t h ( ρ ^ S ) ≔ Tr B [ U ^ ( ρ ^ S ⊗ ρ ^ B β ) U ^ † ] (4.8.7) \mathcal N_{\mathrm{th}}(\hat\rho_{\mathrm S})\coloneqq\operatorname{Tr}_{\mathrm B}\bigl[\hat U(\hat\rho_{\mathrm S}\otimes\hat\rho^\beta_{\mathrm B})\hat U^\dagger\bigr]\tag{4.8.7} N th ( ρ ^ S ) : = Tr B [ U ^ ( ρ ^ S ⊗ ρ ^ B β ) U ^ † ] ( 4.8.7 )
と書くと、これは量子チャネルである（Stinespring の形。第3部第1章 ）。ρ ^ β ⊗ ρ ^ B β \hat\rho_\beta\otimes\hat\rho^\beta_{\mathrm B} ρ ^ β ⊗ ρ ^ B β U ^ \hat U U ^ N t h ( ρ ^ β ) = ρ ^ β \mathcal N_{\mathrm{th}}(\hat\rho_\beta)=\hat\rho_\beta N th ( ρ ^ β ) = ρ ^ β 第3部第3章 ）から
D ( N t h ( ρ ^ S ) ∥ ρ ^ β ) = D ( N t h ( ρ ^ S ) ∥ N t h ( ρ ^ β ) ) ≤ D ( ρ ^ S ∥ ρ ^ β ) (4.8.8) D(\mathcal N_{\mathrm{th}}(\hat\rho_{\mathrm S})\,\|\,\hat\rho_\beta)=D(\mathcal N_{\mathrm{th}}(\hat\rho_{\mathrm S})\,\|\,\mathcal N_{\mathrm{th}}(\hat\rho_\beta))\le D(\hat\rho_{\mathrm S}\,\|\,\hat\rho_\beta)\tag{4.8.8} D ( N th ( ρ ^ S ) ∥ ρ ^ β ) = D ( N th ( ρ ^ S ) ∥ N th ( ρ ^ β )) ≤ D ( ρ ^ S ∥ ρ ^ β ) ( 4.8.8 )
が出る。一方、エネルギーが保たれるので系が受け取る熱は系のエネルギーの増え Q = Δ E S Q=\Delta E_{\mathrm S} Q = Δ E S D ( ρ ^ ∥ ρ ^ β ) = β E − S ( ρ ^ ) + ln Z D(\hat\rho\,\|\,\hat\rho_\beta)=\beta E-S(\hat\rho)+\ln Z D ( ρ ^ ∥ ρ ^ β ) = β E − S ( ρ ^ ) + ln Z
Σ = Δ S S − β Δ E S = − Δ D ( ρ ^ S ∥ ρ ^ β ) (4.8.9) \Sigma=\Delta S_{\mathrm S}-\beta\Delta E_{\mathrm S}=-\Delta D(\hat\rho_{\mathrm S}\,\|\,\hat\rho_\beta)\tag{4.8.9} Σ = Δ S S − β Δ E S = − Δ D ( ρ ^ S ∥ ρ ^ β ) ( 4.8.9 )
となる。エントロピー生成は系の D D D 4.8.2 はこの減りが相関と熱浴のずれのどちらへ行ったかを内訳として示す。系の状態が熱状態へ完全に緩和すれば Σ = D ( ρ ^ S ∥ ρ ^ β ) \Sigma=D(\hat\rho_{\mathrm S}\,\|\,\hat\rho_\beta) Σ = D ( ρ ^ S ∥ ρ ^ β )
連続時間の場合：Spohn の不等式
熱浴との結合が弱く、熱浴の相関がすぐ消えるときは、系の状態は Lindblad 方程式 d ρ ^ d t = L ( ρ ^ ) \frac{\mathrm{d} \hat\rho}{\mathrm{d} t}=\mathcal L(\hat\rho) d t d ρ ^ = L ( ρ ^ ) 第3部第1章 ）。熱浴の温度が T T T L \mathcal L L L ( ρ ^ β ) = 0 \mathcal L(\hat\rho_\beta)=0 L ( ρ ^ β ) = 0 2 2 E. B. Davies (1974), Commun. Math. Phys. 39 , 91.s s s e s L \mathrm{e}^{s\mathcal L} e s L (4.8.8) と同じ理由で D ( ρ ^ t ∥ ρ ^ β ) D(\hat\rho_t\,\|\,\hat\rho_\beta) D ( ρ ^ t ∥ ρ ^ β ) t t t H ^ \hat H H ^ d d t D ( ρ ^ t ∥ ρ ^ β ) = β d E d t − d S d t \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}D(\hat\rho_t\,\|\,\hat\rho_\beta)=\beta\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t}-\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t} d t d D ( ρ ^ t ∥ ρ ^ β ) = β d t d E − d t d S d E d t = Tr H ^ d ρ ^ d t \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t}=\operatorname{Tr}\hat H\frac{\mathrm{d} \hat\rho}{\mathrm{d} t} d t d E = Tr H ^ d t d ρ ^ Q ˙ \dot Q Q ˙
Σ ˙ ≔ d S ( ρ ^ t ) d t − β Q ˙ = − d d t D ( ρ ^ t ∥ ρ ^ β ) ≥ 0 (4.8.10) \dot\Sigma\coloneqq\frac{\mathrm{d} S(\hat\rho_t)}{\mathrm{d} t}-\beta\dot Q=-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}D(\hat\rho_t\,\|\,\hat\rho_\beta)\ge0\tag{4.8.10} Σ ˙ : = d t d S ( ρ ^ t ) − β Q ˙ = − d t d D ( ρ ^ t ∥ ρ ^ β ) ≥ 0 ( 4.8.10 )
となる。これを Spohn の不等式と呼ぶ3 3 H. Spohn (1978), J. Math. Phys. 19 , 1227.D D D 第4部第1章 ）の量子版である。
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの 系と熱浴の結合の強さ λ \lambda λ λ → 0 \lambda\to0 λ → 0 λ 2 t \lambda^2t λ 2 t 証明 条件付き（有限次元の系・熱浴の相関関数が十分速く減衰。Davies 1974。熱状態が止まる状態になるのは熱浴が KMS 状態のとき） ｜ 行き先 近似の数理 第14章
例題 4.8.2 熱浴の量子ビットとの部分 SWAP ★★★
オリジナル 系 S と熱浴 B はどちらも同じ間隔 ℏ ω \hbar\omega ℏ ω β ℏ ω = 1 \beta\hbar\omega=1 β ℏ ω = 1 ∣ 1 ⟩ | 1 \rangle ∣1 ⟩ ρ ^ β \hat\rho^\beta ρ ^ β p 1 β = 0.2689 p_1^\beta=0.2689 p 1 β = 0.2689 U ^ = cos θ 1 − i sin θ S W A P \hat U=\cos\theta\,\mathbf 1-\mathrm{i}\sin\theta\,\mathrm{SWAP} U ^ = cos θ 1 − i sin θ SWAP θ = π / 4 \theta=\pi/4 θ = π /4
(1) U ^ \hat U U ^ (2) 系の励起確率・系が受け取る熱 Q Q Q Δ S S \Delta S_{\mathrm S} Δ S S (3) I ( S ; B ) ρ ′ I(\mathrm S;\mathrm B)_{\rho'} I ( S ; B ) ρ ′ D ( ρ ^ B ′ ∥ ρ ^ β ) D(\hat\rho'_{\mathrm B}\,\|\,\hat\rho^\beta) D ( ρ ^ B ′ ∥ ρ ^ β ) 4.8.2 と式 (4.8.9) を確かめよ。
解答 (1) SWAP は ∣ a b ⟩ ↦ ∣ b a ⟩ | ab \rangle \mapsto| ba \rangle ∣ ab ⟩ ↦ ∣ ba ⟩ ∣ 01 ⟩ | 01 \rangle ∣01 ⟩ ∣ 10 ⟩ | 10 \rangle ∣10 ⟩ ℏ ω \hbar\omega ℏ ω ∣ 00 ⟩ | 00 \rangle ∣00 ⟩ ∣ 11 ⟩ | 11 \rangle ∣11 ⟩ H ^ S + H ^ B \hat H_{\mathrm S}+\hat H_{\mathrm B} H ^ S + H ^ B U ^ \hat U U ^ S W A P 2 = 1 \mathrm{SWAP}^2=\mathbf 1 SWAP 2 = 1 U ^ = e − i θ S W A P \hat U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta\,\mathrm{SWAP}} U ^ = e − i θ SWAP p 0 β p_0^\beta p 0 β ∣ 10 ⟩ | 10 \rangle ∣10 ⟩ p 1 β p_1^\beta p 1 β ∣ 11 ⟩ | 11 \rangle ∣11 ⟩ U ^ ∣ 10 ⟩ = cos θ ∣ 10 ⟩ − i sin θ ∣ 01 ⟩ \hat U| 10 \rangle =\cos\theta| 10 \rangle -\mathrm{i}\sin\theta| 01 \rangle U ^ ∣10 ⟩ = cos θ ∣10 ⟩ − i sin θ ∣01 ⟩ U ^ ∣ 11 ⟩ = e − i θ ∣ 11 ⟩ \hat U| 11 \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}| 11 \rangle U ^ ∣11 ⟩ = e − i θ ∣11 ⟩ θ = π / 4 \theta=\pi/4 θ = π /4
ρ ^ S B ′ = p 0 β ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ + p 1 β ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ , ∣ ψ ⟩ = 1 2 ( ∣ 10 ⟩ − i ∣ 01 ⟩ ) \hat\rho'_{\mathrm{SB}}=p_0^\beta| \psi \rangle \langle \psi |+p_1^\beta| 11 \rangle \langle 11 |,\qquad | \psi \rangle =\tfrac{1}{\sqrt2}(| 10 \rangle -\mathrm{i}| 01 \rangle ) ρ ^ SB ′ = p 0 β ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ + p 1 β ∣11 ⟩ ⟨ 11∣ , ∣ ψ ⟩ = 2 1 ( ∣10 ⟩ − i ∣01 ⟩)
である。∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩
(2) 系の励起確率は 1 2 p 0 β + p 1 β = 1 2 ( 1 + p 1 β ) = 0.6345 \frac12p_0^\beta+p_1^\beta=\frac12(1+p_1^\beta)=0.6345 2 1 p 0 β + p 1 β = 2 1 ( 1 + p 1 β ) = 0.6345 ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ Q = Δ E S = ℏ ω ( 0.6345 − 1 ) = − 0.3655 k B T Q=\Delta E_{\mathrm S}=\hbar\omega(0.6345-1)=-0.3655\, k_{\mathrm B} T Q = Δ E S = ℏ ω ( 0.6345 − 1 ) = − 0.3655 k B T Δ S S = h b ( 0.6345 ) − 0 = 0.6565 \Delta S_{\mathrm S}=h_{\mathrm b}(0.6345)-0=0.6565 Δ S S = h b ( 0.6345 ) − 0 = 0.6565 Σ = 0.6565 + 0.3655 = 1.0221 \Sigma=0.6565+0.3655=1.0221 Σ = 0.6565 + 0.3655 = 1.0221
(3) 熱浴の励起確率も 1 2 p 0 β + p 1 β = 0.6345 \frac12p_0^\beta+p_1^\beta=0.6345 2 1 p 0 β + p 1 β = 0.6345 S ( ρ ^ B ′ ) = 0.6565 S(\hat\rho'_{\mathrm B})=0.6565 S ( ρ ^ B ′ ) = 0.6565 h b ( p 1 β ) = 0.5822 h_{\mathrm b}(p_1^\beta)=0.5822 h b ( p 1 β ) = 0.5822 I ( S ; B ) ρ ′ = 2 × 0.6565 − 0.5822 = 0.7309 I(\mathrm S;\mathrm B)_{\rho'}=2\times0.6565-0.5822=0.7309 I ( S ; B ) ρ ′ = 2 × 0.6565 − 0.5822 = 0.7309 D ( ρ ^ B ′ ∥ ρ ^ β ) = 0.3655 ln 0.3655 0.7311 + 0.6345 ln 0.6345 0.2689 = 0.2912 D(\hat\rho'_{\mathrm B}\,\|\,\hat\rho^\beta)=0.3655\ln\frac{0.3655}{0.7311}+0.6345\ln\frac{0.6345}{0.2689}=0.2912 D ( ρ ^ B ′ ∥ ρ ^ β ) = 0.3655 ln 0.7311 0.3655 + 0.6345 ln 0.2689 0.6345 = 0.2912 1.0221 1.0221 1.0221 Σ \Sigma Σ D D D D ( ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ ∥ ρ ^ β ) = β ℏ ω + ln Z = 1.3133 D(| 1 \rangle \langle 1 |\,\|\,\hat\rho^\beta)=\beta\hbar\omega+\ln Z=1.3133 D ( ∣1 ⟩ ⟨ 1∣ ∥ ρ ^ β ) = β ℏ ω + ln Z = 1.3133 0.2912 0.2912 0.2912 1.0221 1.0221 1.0221 (4.8.9) も成り立つ。エントロピー生成の7割は系と熱浴の間にできた相関（ここではエンタングルメント）として残っている。
1 M. Esposito, K. Lindenberg, C. Van den Broeck (2010), New J. Phys. 12 , 013013.
2 E. B. Davies (1974), Commun. Math. Phys. 39 , 91.
3 H. Spohn (1978), J. Math. Phys. 19 , 1227.
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
