出てくるもの (1)：量子 Landauer 原理

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第4部 第8章 §4.8.3　★★★ 消去で熱浴へ流れる熱の下限 $- k_{\mathrm B} T\Delta S_{\mathrm S}$ は前の節の等式の書き直しで、余分は相関と熱浴のずれ。段に分けた消去の余分は $D$ の和

等式の形の Landauer 原理

定理 4.8.2 を、熱浴へ流れる熱 $Q_{\mathrm B}\coloneqq-Q$ について解くと

$$\beta Q_{\mathrm B}=-\Delta S_{\mathrm S}+I(\mathrm S;\mathrm B)_{\rho'}+D(\hat\rho'_{\mathrm B}\,\|\,\hat\rho^\beta_{\mathrm B})\ \ge\ -\Delta S_{\mathrm S}\tag{4.8.11}$$

となる。系のエントロピーを減らす操作（消去）では、熱浴へ少なくとも $- k_{\mathrm B} T\Delta S_{\mathrm S}$ の熱が流れる。1ビットの記憶（最大混合の量子ビット）を基底状態へ消すと$\Delta S_{\mathrm S}=-\ln2$ なので $Q_{\mathrm B}\ge k_{\mathrm B} T\ln2$ である。これが Landauer 原理¹1R. Landauer (1961), IBM J. Res. Dev. 5, 183.下の脚注へ閉じるで、式 (4.8.11) はそれを等式の形で書いたものになっている。Reeb と Wolf はこの等式から出発し、熱浴が有限の次元を持つときは下限に等号で届かず、熱浴の大きさで決まる正の補正が必ず残ることを示した²2D. Reeb, M. M. Wolf (2014), New J. Phys. 16, 103011.下の脚注へ閉じる。等号には $I=0$ と $D(\hat\rho'_{\mathrm B}\,\|\,\hat\rho^\beta_{\mathrm B})=0$ の両方、つまり熱浴が系と相関を持たず、しかも平衡からずれないことが要る。

消去の操作には仕事も要る。系の Hamiltonian が始めと終わりで同じなら、系がされる仕事は $W=\Delta E_{\mathrm S}+Q_{\mathrm B}$（系と熱浴のエネルギーの増えの和）で、式 (4.8.11) を使うと $W-\Delta F= k_{\mathrm B} T[I+D(\hat\rho'_{\mathrm B}\,\|\,\hat\rho^\beta_{\mathrm B})]$ となる。ここで $\Delta F=\Delta E_{\mathrm S}- k_{\mathrm B} T\Delta S_{\mathrm S}$ は非平衡の自由エネルギーの変化である。消去と測定のどちらにこのコストを割り振るかは 第4部第5章 の主題で、Maxwell の悪魔の帳尻は 第4部第4章 で扱う。

熱浴の量子ビット1個で消す

最も簡単な消去は、熱浴の量子ビットと状態を入れ替えることである。系は縮退した量子ビット（$\hat H_{\mathrm S}=0$）で最大混合状態 $\mathbf 1/2$ にあり、熱浴は間隔 $\hbar\omega_{\mathrm B}$ の量子ビットで熱状態にあるとする。$x\coloneqq\beta\hbar\omega_{\mathrm B}$、$p_1(x)\coloneqq1/(1+\mathrm{e}^{x})$（熱状態の励起確率）と書く。SWAP の後、系は熱浴の熱状態（励起確率 $p_1(x)$）に、熱浴は最大混合状態になる。熱浴のエネルギーの増えは $Q_{\mathrm B}=\hbar\omega_{\mathrm B}(\frac12-p_1(x))$、系のエントロピーの変化は $\Delta S_{\mathrm S}=h_{\mathrm b}(p_1(x))-\ln2$、相関は残らないので $I=0$ である。式 (4.8.11) の余りは

$$\beta Q_{\mathrm B}+\Delta S_{\mathrm S}=D\Bigl(\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr)\,\Big\|\,\bigl(1-p_1(x),\,p_1(x)\bigr)\Bigr)\tag{4.8.12}$$

である。$x$ を大きくすると系はほぼ基底状態へ消えるが、$\beta Q_{\mathrm B}\approx x/2$ が際限なく増え、余りも $x/2-\ln2$ のように増える。完全な消去を1回の入れ替えで行うと、熱浴へ流す熱はいくらでも大きくなる。

段に分けた消去

下限に近づくには、操作を段に分ける。系を間隔 $\hbar\omega$ が動かせる量子ビットにし、$x=\beta\hbar\omega$ を $0=x_0<x_1<\cdots<x_N=X$ と $N$ 段で上げる。各段では、まず間隔を $x_{k-1}$ から $x_k$ へ一瞬で上げ（状態は変わらないので、式 (4.8.1) の仕事は $k_{\mathrm B} T\,p_1(x_{k-1})(x_k-x_{k-1})$）、次に同じ間隔 $x_k$ の新しい熱浴の量子ビットと SWAP する（エネルギーを保つので仕事は $0$）。SWAP の後、系は熱状態 $\pi_{x_k}$（励起確率 $p_1(x_k)$）になる。最後に間隔を一瞬で $0$ に戻す（仕事 $- k_{\mathrm B} T\,p_1(X)X$）と、系は縮退した量子ビットで励起確率 $p_1(X)$ の状態にあり、消去の誤りは $p_1(X)$ である。

一瞬で間隔を変える段では状態が変わらないので、非平衡の自由エネルギーの変化と仕事は等しい。SWAP の段では仕事が $0$ で、自由エネルギーは式 (4.8.9) により $k_{\mathrm B} T\,D(\pi_{x_{k-1}}\,\|\,\pi_{x_k})$ だけ減る。これを足し合わせると、全体の仕事と自由エネルギーの変化 $\Delta F= k_{\mathrm B} T[\ln2-h_{\mathrm b}(p_1(X))]$ の差は

$$W_N-\Delta F= k_{\mathrm B} T\sum_{k=1}^ND(\pi_{x_{k-1}}\,\|\,\pi_{x_k})\tag{4.8.13}$$

となる。これは 第4部第1章 で古典のばねについて出した「段に分けた操作の余分は $D$ の和」と同じ形である。段を細かくすると各段の $D$ は2次の小ささになり、$D(\pi_x\,\|\,\pi_{x+\delta})\approx\frac12J(x)\delta^2$ と Fisher 情報 $J(x)=p_1(x)(1-p_1(x))=-p_1'(x)$（第1部第7章）で書ける。等間隔の $N$ 段では $\delta=X/N$ で

$$W_N-\Delta F\approx k_{\mathrm B} T\frac{\delta}{2}\int_0^XJ(x)\,\mathrm{d} x= k_{\mathrm B} T\,\frac{X}{2N}\Bigl(\frac12-p_1(X)\Bigr)\tag{4.8.14}$$

となり、$N\to\infty$ で余分は $0$ になる。準静的な極限では $W_\infty= k_{\mathrm B} T[\int_0^Xp_1\,\mathrm{d} x-Xp_1(X)]= k_{\mathrm B} T[\ln2-h_{\mathrm b}(p_1(X))]=\Delta F$ で、$X\to\infty$ で $k_{\mathrm B} T\ln2$ に届く。有限の段数と有限の $X$ では、消去の誤りと余分な仕事の両方が残る。

1　R. Landauer (1961), IBM J. Res. Dev. 5, 183.

2　D. Reeb, M. M. Wolf (2014), New J. Phys. 16, 103011.