当てる道具：ギャップを閉じない限り変わらない整数

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第6章 §5.6.2　★★★ 2バンドの Chern 数は単位ベクトル $\hat{\bm{g}}$ が球面を何回覆うかを数える整数で、逆像の点を数えるだけで求まる

Berry 曲率と Chern 数

下のバンドの Bloch ベクトルを $| u_-(\bm{k}) \rangle$ とし、Berry 接続を $\bm{A}_-(\bm{k})=\mathrm{i}\langle u_- | \nabla_{\bm{k}}u_- \rangle$、Berry 曲率を $\Omega_-(\bm{k})=\partial_{k_x}A_{-,y}-\partial_{k_y}A_{-,x}$ とする（記法の正本の流儀）。Brillouin 域で積分した

$$C_-=\frac1{2\pi}\int_{\mathrm{BZ}}\Omega_-(\bm{k})\,\mathrm{d}^2k\tag{5.6.5}$$

が Chern 数で、下のバンドが上のバンドとギャップで隔たっている限り整数になる。この定義と整数になる理由、詰まったバンドの Hall 伝導度が $\sigma_{xy}=-C_-e^2/h$ になることは、Berry 曲率の章で導いた（第5部第5章・解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第11章）。この節では結果だけを借り、2バンドの場合に $C_-$ を手で数える道具を作る。

$h(\bm{k})=\bm{g}\cdot\bm{\sigma}$ の下のバンドは、擬スピンが $-\hat{\bm{g}}$（$\hat{\bm{g}}=\bm{g}/\lvert \bm{g}\rvert$）を向いた状態である。$\bm{k}$ を動かすと $\hat{\bm{g}}(\bm{k})$ は単位球面の上を動き、状態は $\hat{\bm{g}}$ だけで決まる。スピン ½ の Berry 位相は球面の上で囲んだ立体角の半分で、場と逆を向いた状態では $+(\text{立体角})/2$ になる（記法の正本 §7 の符号）。$\bm{k}$ 空間の小さな四角 $\mathrm{d} k_x\mathrm{d} k_y$ の像が球面の上で張る立体角は$\hat{\bm{g}}\cdot(\partial_{k_x}\hat{\bm{g}}\times\partial_{k_y}\hat{\bm{g}})\,\mathrm{d} k_x\mathrm{d} k_y$ なので、

$$\Omega_-(\bm{k})=\frac12\,\hat{\bm{g}}\cdot\bigl(\partial_{k_x}\hat{\bm{g}}\times\partial_{k_y}\hat{\bm{g}}\bigr)\tag{5.6.6}$$

を得る（検算で、小さな四角を回る Berry 位相の数値と一致することを確かめた）。質量のある Dirac 模型 $\bm{g}=(\hbar vk_x,\hbar vk_y,M)$ に当てると $\Omega_-=\hbar^2v^2M/(2\lvert \bm{g}\rvert ^3)$ となり、Berry 曲率の章の結果に戻る。

写像の度数として数える

式 (5.6.6) を式 (5.6.5) に入れると

$$C_-=\frac1{4\pi}\int_{\mathrm{BZ}}\hat{\bm{g}}\cdot\bigl(\partial_{k_x}\hat{\bm{g}}\times\partial_{k_y}\hat{\bm{g}}\bigr)\mathrm{d}^2k\tag{5.6.7}$$

となる。右辺は、Brillouin 域（周期境界で端をつないだドーナツの面）から単位球面への写像 $\hat{\bm{g}}$ が、球面全体の立体角 $4\pi$ を符号つきで何回覆うかを数えている。この整数を写像の度数と呼ぶ。度数は、球面の上の1点 $\bm{n}$ を選び、$\hat{\bm{g}}(\bm{k})=\bm{n}$ となる $\bm{k}$（逆像）を全部探して、各点で写像が向きを保つか（$+1$）裏返すか（$-1$）を足せば求まる。向きは、$\bm{n}$ のまわりの球面の座標で測った Jacobian の行列式の符号で決まる。どの $\bm{n}$ を選んでも答えは同じである。

この数え方から、$C_-$ が変わりうるのは $\bm{g}=\bm{0}$ となる $\bm{k}$ がある、つまりギャップが閉じるときだけであることが読み取れる。ギャップが開いている限り $\hat{\bm{g}}$ は連続に変わり、逆像は対で生まれるか対で消えるだけなので、符号つきの和は変わらない。式 (5.6.3) と合わせると、$C_-$ は $\lambda$ の区間 $(-\infty,-2)$, $(-2,0)$, $(0,2)$, $(2,\infty)$ のそれぞれで一定である。

格子の上で数える

数値で $C_-$ を求めるには、式 (5.6.5) の積分を細かい格子の和で近似したくなる。しかし $\bm{A}_-$ は $| u_- \rangle$ の位相の選び方で変わるので、各点の固有ベクトルを数値の対角化で出すと、位相が点ごとにでたらめになり、$\bm{A}_-$ の差分が意味を持たない。そこで福井・初貝・鈴木の方法（T. Fukui, Y. Hatsugai and H. Suzuki (2005), J. Phys. Soc. Jpn. 74, 1674）を使う。隣どうしの格子点の内積 $\langle u_-(\bm{k}) | u_-(\bm{k}+\bm{\delta}) \rangle \approx\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{A}_-\cdot\bm{\delta}}$ を小さな四角の4辺について掛けると、位相の選び方は打ち消し合い、積の偏角の符号を変えたものがその四角を貫く Berry 曲率の流束になる。全部の四角について足して $2\pi$ で割ると、格子が粗くても結果は整数になる。数値では $3\times3$ の格子ですでに $C_-=\pm1$ が正しく出て、$2\times2$ では $0$ に落ちた。図 5.6.1 の太い線はこの方法で数えたもので、$-2<\lambda<0$ で $C_-=+1$、$0<\lambda<2$ で $C_-=-1$、$\lvert \lambda\rvert >2$ で $0$ である。