保存則と閉じないモーメント方程式

近似の数理　第8章 §8.4　★★★ 流体方程式の骨組み（保存則）は Boltzmann 方程式から無条件に出る。近似が入るのは応力と熱流束の閉じ方だけ

Boltzmann 方程式 (8.3) に衝突不変量 $\phi\in\{m,\,m\bm{v},\,\frac{m}{2}\lvert \bm{v}\rvert ^2\}$ を掛けて $\bm{v}$ で積分すると、右辺は $0$ になり、

$$\frac{\partial }{\partial t}\int\phi f\,\mathrm{d}\bm{v}+\nabla_{\bm{x}}\cdot\int\bm{v}\phi f\,\mathrm{d}\bm{v}=0$$

を得る。巨視的な量を次のように定める。

$$\begin{gather*}\rho=m\!\int f\,\mathrm{d}\bm{v},\qquad \rho\bm{u}=m\!\int\bm{v}f\,\mathrm{d}\bm{v},\qquad \frac32 n k_{\mathrm B} T=\frac{m}{2}\int\lvert \bm{c}\rvert ^2f\,\mathrm{d}\bm{v}\quad(\bm{c}=\bm{v}-\bm{u}),\\P_{ij}=m\!\int c_ic_jf\,\mathrm{d}\bm{v},\qquad \bm{q}=\frac{m}{2}\int\lvert \bm{c}\rvert ^2\bm{c}\,f\,\mathrm{d}\bm{v}.\end{gather*}$$

$\bm{c}$ を特異速度（流れに乗った系から見た分子の速度）、$P_{ij}$ を応力テンソル（圧力テンソル）、$\bm{q}$ を熱流束という。温度 $T$ は、特異速度の運動エネルギーで定義している。$\bm{v}=\bm{u}+\bm{c}$ を代入して整理すると（例題 8.5）、

$$\begin{align*}&\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho\bm{u})=0,\tag{8.22}\\&\partial_t(\rho u_i)+\partial_j(\rho u_iu_j+P_{ij})=0,\tag{8.23}\\&\partial_t\Bigl(\frac12\rho\lvert \bm{u}\rvert ^2+\frac32 n k_{\mathrm B} T\Bigr)+\partial_j\Bigl[\Bigl(\frac12\rho\lvert \bm{u}\rvert ^2+\frac32 n k_{\mathrm B} T\Bigr)u_j+P_{ij}u_i+q_j\Bigr]=0\tag{8.24}\end{align*}$$

（繰り返す添字は和を取る）。これは質量・運動量・エネルギーの保存則であり、どんな $f$ についても厳密に成り立つ。

しかし式 (8.22)–(8.24) は閉じていない。未知量 $\rho,\bm{u},T$（5 個）に対し、方程式は 5 本だが、$P_{ij}$（6 成分）と $\bm{q}$（3 成分）が $f$ のより高次のモーメントとして新たに現れる。$P_{ij}$ や $\bm{q}$ の時間発展を求めようとして $\bm{v}$ のより高い冪を掛けて積分すると、さらに高次のモーメントが現れ、連鎖は終わらない。これは第6章の BBGKY 階層（$k$ 粒子分布の方程式に $k+1$ 粒子分布が現れる）と同じ構造であり、第9章で扱う乱流の Reynolds 応力（平均流の方程式に揺らぎの相関が現れる）とも同じ構造である。