Hilbert 展開と圧縮性 Euler 方程式

近似の数理　第8章 §8.5　★★★ 局所平衡と Euler 方程式が、漸近展開の最低次とその可解条件（Fredholm の二者択一）として出てくる仕組み

無次元化

代表的な長さ $L$、代表的な分子の速さ $c_0=\sqrt{ k_{\mathrm B} T_0/m}$、代表的な密度 $n_0$ で変数を無次元化し、時間の単位を $L/c_0$ に取る。衝突演算子は $n_0\pi d^2c_0$ 程度の大きさ（1 秒あたりの衝突回数）を持つので、無次元化した Boltzmann 方程式は

$$\partial_tf+\bm{v}\cdot\nabla_{\bm{x}}f=\frac{1}{\varepsilon }Q(f,f),\qquad \varepsilon =\mathrm{Kn}\sim\frac{1}{n_0\pi d^2L}\tag{8.25}$$

となる（数係数は $\varepsilon$ に吸収した）。$\varepsilon \to0$ は、衝突の項が輸送の項より圧倒的に大きい極限であり、第7章で見た特異摂動の形（最高階でなく最も強い項に小さい係数の逆数が付く）をしている。

Hilbert 展開の最低次

Hilbert（1912）は $f$ を $\varepsilon$ の冪級数

$$f=f_0+\varepsilon f_1+\varepsilon ^2f_2+\cdots$$

に展開して式 (8.25) に代入し、$\varepsilon$ の各次数を比べた。$Q$ は双線型なので、対称化した $Q(f,g)$（$\frac12(Q(f,g)+Q(g,f))$）を使うと、

$$\begin{align*}\mathcal{O}(\varepsilon ^{-1}):&\quad Q(f_0,f_0)=0,\tag{8.27}\\\mathcal{O}(\varepsilon ^{0}):&\quad (\partial_t+\bm{v}\cdot\nabla_{\bm{x}})f_0=2Q(f_0,f_1).\tag{8.28}\end{align*}$$

系 8.5 から、式 (8.27) の解は各点で Maxwell 分布、すなわち

$$f_0(t,\bm{x},\bm{v})=M_{n(t,\bm{x}),\,\bm{u}(t,\bm{x}),\,T(t,\bm{x})}(\bm{v})$$

であり、これを局所 Maxwell 分布という。5 個の場 $n,\bm{u},T$ はこの段階では決まらない。それを決めるのが次の次数の可解条件である。

線型化衝突演算子と Fredholm の二者択一

式 (8.28) は $f_1$ についての線型方程式である。$f_1=M h_1$（$M=f_0$）と書き、線型化衝突演算子

$$\mathcal{L}h=-\frac{2}{M}Q(M,Mh)$$

を定義すると、式 (8.28) は

$$\mathcal{L}h_1=-\frac{1}{M}(\partial_t+\bm{v}\cdot\nabla_{\bm{x}})M\tag{8.31}$$

になる。この方程式を解けるかどうかを考えるために、関数の空間を準備する。

証明

$MM_*=M'M'_*$（例題 8.3）を使うと、$Q(M,Mh)+Q(Mh,M)$ の被積分関数は $MM_*(h'+h'_*-h-h_*)$ になる。補題 8.1 と同じ変数の入れ替え（$\bm{v}\leftrightarrow\bm{v}_*$ と衝突写像）を $\int g\cdot(\cdots)\mathrm{d}\bm{v}$ に施すと、

$$\langle g,\,\mathcal{L}h\rangle _M=\frac{d^2}{8}\iiint MM_*(g+g_*-g'-g'_*)(h+h_*-h'-h'_*)\lvert (\bm{v}-\bm{v}_*)\cdot\bm{\omega}\rvert$$

となり、$g,h$ について対称である。$g=h$ とすれば非負性を得る。$\langle h,\,\mathcal{L}h\rangle _M=0$ は $h+h_*=h'+h'_*$ と同値なので、定理 8.3 により核は衝突不変量の空間である。

有限次元の対称行列 $A$ については、$A\bm{x}=\bm{b}$ が解を持つことと、$\bm{b}$ が $\operatorname{Ker} A$ に直交することが同値である（$\operatorname{Ran} A=(\operatorname{Ker} A^{\top})^{\perp}$ で、$A^{\top}=A$）。これをFredholm の二者択一という。無限次元では、$\operatorname{Ran}\mathcal{L}$ が閉集合であるという追加の条件が要る。

証明の骨格

必要性は対称性から直ちに出る：$\langle S,\,\phi\rangle _M=\langle \mathcal{L}h,\,\phi\rangle _M=\langle h,\,\mathcal{L}\phi\rangle _M=0$。十分性の要は、剛体球の $\mathcal{L}$ が

$$\mathcal{L}h=\nu(\bm{v})h-Kh,\qquad \nu(\bm{v})\ge\nu_0>0$$

と、正の関数 $\nu$（損失項に由来する衝突頻度）を掛ける作用素と、コンパクト作用素 $K$（有界な関数列を、収束する部分列を持つ列へ写す作用素）の差に分解できることである。この分解は Hilbert が剛体球について示し、Grad がより広い分子間力に拡張した。$\nu$ を掛ける作用素は逆を持ち、コンパクト作用素は「ほぼ有限次元」なので、有限次元と同じ二者択一が成り立つ（Fredholm の理論）。この分解の証明が難所であり、本書では認める。

可解条件から Euler 方程式へ

定理 8.9 を式 (8.31) に適用すると、$f_1$ が存在するための条件は

$$\int(\partial_t+\bm{v}\cdot\nabla_{\bm{x}})M\,\phi\,\mathrm{d}\bm{v}=0\qquad(\phi=1,\bm{v},\lvert \bm{v}\rvert ^2)$$

である。これは 8.4 節のモーメント方程式に $f=M$ を入れたものにほかならず、例題 8.5 から圧縮性 Euler 方程式

$$\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho\bm{u})=0,\quad \partial_t(\rho\bm{u})+\nabla\cdot(\rho\bm{u}\otimes\bm{u})+\nabla p=\bm{0},\quad \partial_tE+\nabla\cdot\bigl((E+p)\bm{u}\bigr)=0\tag{8.37}$$

（$p=n k_{\mathrm B} T$、$E=\frac12\rho\lvert \bm{u}\rvert ^2+\frac32p$）になる。局所 Maxwell 分布の 5 個の場が Euler 方程式に従うことが、展開を 1 段先へ進めるための条件として出てきた。

厳密化と限界

Hilbert 展開の打ち切りが真の解に近いことは、圧縮性 Euler 方程式 (8.37) の滑らかな解が存在する時間区間では、Caflisch（1980）などによって証明されている。主張の形は「Euler 方程式の滑らかな解から作った Hilbert 展開の打ち切りの近くに Boltzmann 方程式の解があり、$\varepsilon \to0$ で差が $0$ に行く」である。

しかし Euler 方程式は有限時間で衝撃波を作る（滑らかな解が壊れる）。衝撃波の内部では密度や温度が平均自由行程程度の距離で変化するので、局所的に $\mathrm{Kn}=\lambda/L$ が $\mathcal{O}(1)$ になり、展開の前提が崩れる。また Hilbert 展開の 1 次の係数 $f_1$ には粘性による寄与が入るが、それは Euler の場の上に線型化した補正として現れるだけで、Navier–Stokes 方程式そのものは出てこない。粘性を方程式に取り込むには、展開を組み替える必要がある。