Lanford の定理と不可逆性

近似の数理　第8章 §8.3　★★ Boltzmann 方程式が B 型の極限として導けること、ただし短時間に限ることを主張として押さえる

主張

剛体球系の BBGKY 階層は、$k$ 粒子周辺分布 $f_N^{(k)}$ の方程式が、第 $k+1$ 粒子との衝突を表す項 $C_{k,k+1}f_N^{(k+1)}$ を通して $f_N^{(k+1)}$ を含む連鎖である。Boltzmann–Grad 極限で衝突項の係数 $(N-k)d^2$ は一定値に収束し、形式的には極限で Boltzmann 階層と呼ばれる連鎖が残る。Boltzmann 階層は、各 $k$ について $f^{(k)}=f^{\otimes k}$（$f$ の $k$ 重の積）と置くと、$f$ が Boltzmann 方程式を満たすことと同値になる。

2 番目の主張をカオスの伝播という。初期時刻に積の形（独立）だった分布が、時刻 $t$ でも極限では積の形にとどまる。分子的混沌の仮定は、この意味で仮定でなく定理の帰結になる。$t_*$ の大きさは平均自由時間の数分の 1 程度であり、気体の中の分子がおおむね 1 回も衝突しない程度の時間しかカバーしない。

証明の骨格と難所

証明は次の 3 段からなる。

1. 級数展開。BBGKY 階層を Duhamel の公式（線型方程式の定数変化法の公式。$\dot f=Af+g$ の解を $f(t)=\mathrm{e}^{tA}f(0)+\int_0^t\mathrm{e}^{(t-s)A}g(s)\,\mathrm{d} s$ と書く）で積分形に直し、反復代入すると、$f_N^{(1)}(t)$ は「時刻 $0$ から $t$ までの間に $j$ 回の衝突で新しい粒子が加わる」項の和 $\sum_{j\ge0}(\cdots)$ に展開される。Boltzmann 階層についても同じ形の級数がある。
2. 級数の一様収束。第 $j$ 項を絶対値で評価すると、衝突演算子 $C_{k,k+1}$ が速度 $\lvert \bm{v}\rvert$ の重みを 1 つ増やす（失う）ため、毎回 Gauss の重み $\mathrm{e}^{-\beta\lvert \bm{v}\rvert ^2}$ の $\beta$ を少しずつ削りながら評価することになり、第 $j$ 項はおよそ $(Ct)^j$ で抑えられる。$t<t_*=1/C$ なら級数は $N$ によらず一様に収束する。
3. 項ごとの収束。各項は、新しい粒子が加わっていく「衝突の木」に沿った軌道の積分である。粒子系の軌道と Boltzmann 階層の軌道が食い違うのは、すでに衝突した粒子どうしが再び衝突する（再衝突）か、加わった粒子が初期時刻に既存の粒子と重なる場合に限られ、そのような配置の測度は $d\to0$ で $0$ になることを示す。

難所は第 2 段である。第 2 段の評価は獲得項と損失項を別々に絶対値で抑えており、両者の打ち消し合いや、保存則・H 定理のような構造をまったく使っていない。このため評価は時間とともに幾何級数的に悪化し、短時間を越えられない。Boltzmann 方程式自体の解は長時間存在する場合でも、この方法では導出の時間を延ばせない。第 3 段の再衝突の評価は技術的に長いが、短時間に限れば測度論的な評価で処理できる。

不可逆性の起源

Newton の運動方程式は時間反転について対称である。一方、Boltzmann 方程式は H 定理によって時間の向きを持つ。可逆な力学から不可逆な方程式が出てくることは矛盾に見え、Boltzmann の時代から議論の的になった（Loschmidt の反論）。

Lanford の定理はこの点について次のように答える。定理が保証するのは、初期分布が積の形（独立）であるときに、時刻 $t>0$ で極限が Boltzmann 方程式に従うことである。時刻 $t$ の状態で全粒子の速度を反転したものを新たな初期状態にすると、Newton 力学に従えば時間を逆にたどって元に戻る（$H$ が増える）。しかし速度を反転した状態は、衝突直後の粒子対の間に相関を持っており、積の形をしていない。定理の仮定を満たさないので、Boltzmann 方程式に従う必要はない。つまり Boltzmann 方程式は「典型的な」（積の形の確率分布から見てほとんどすべての）初期条件に対して成り立つ極限であり、不可逆性は方程式でなく初期条件の選び方に由来する。